משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

כאשר הוא המרכז של G, הוא המְרַכֵּז של (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.

הוא האינדקס של ב- והוא שווה ל-.

רקעעריכה

שני איברים   נקראים איברים צמודים אם קיים   כך ש- . צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את   למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל-  כ- .

המרכז של   מוגדר   (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר   מוגדר   (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g).[1] למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש-  היא תת-חבורה של  .

הוכחהעריכה

תהי   חבורה סופית ויהי  . נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

 

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש-  ו-  שונים אם ורק אם   ו-  שייכים לקוסטים שמאליים שונים של  . לכן מתקיים:

 

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

 

כש-  עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את   כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי  . לכל   ולכל   מתקיים   ולכן   (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

 

מסקנותעריכה

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי   חבורה מסדר  . אם   אבלית   אינו טריוויאלי. נניח ש-  אינה אבלית. יהי  , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים  . בהכרח  , אחרת   בסתירה לכך ש- . לכן:  . לפי משוואת המחלקות:

 

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p.   הוא מספר חיובי (כי  ) שמתחלק ב-p ולכן  . ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.

הערות שולייםעריכה

  1. ^ המרכז של איבר יחיד שווה לנורמליזטור שלו. אולם כאשר מרחיבים את הגדרת המרכז לקבוצה מקבלים אובייקט שונה מהנורמליזטור של קבוצה.