משפט אוסטרובסקי

במתמטיקה, משפט אוסטרובסקי הוא שמם המשותף של שני משפטים על ערכים מוחלטים של שדות. את המשפטים הוכיח אלכסנדר אוסטרובסקי ב-1918.

המשפט הראשון מסווג את כל הערכים המוחלטים הלא-ארכימדיים של שדה המספרים הרציונלים $\ \mathbb {Q}$, עד כדי שקילות. על פי המשפט, כל ערך מוחלט לא ארכימדי על $\ \mathbb {Q}$ שקול לערך מוחלט p-אדי, עבור מספר ראשוני p.

המשפט השני מסווג את הערכים המוחלטים הארכימדיים, וקובע שיש רק שני שדות שלמים ביחס לערכים מוחלטים כאלה: שדה המספרים הממשיים (עם הערך המוחלט הרגיל), ושדה המספרים המרוכבים (כנ"ל) .

יחדיו, שני המשפטים עומדים ביסודה של תורת המספרים האלגברית, שכן ניתן להסיק מהם את כל הערכים המוחלטים של כל שדה מספרים. מהמשפטים נובע כי הדרכים היחידות לשכן את שדה הרציונליים באופן צפוף בשדה קומפקטי מקומית הן לתוך שדה הממשיים, או לתוך אחד מן השדות ה-p-אדיים.

ערכים מוחלטים

שני ערכים מוחלטים | | ו-^*| | על שדה F הם שקולים אם קיים מספר ממשי $\,i>0$ כך שלכל $\,x\in F$ מתקיים $\,|x|^{*}=|x|^{i}$.

הערך המוחלט הטריוויאלי על שדה F מוגדר על ידי $|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}$.

הערך המוחלט הממשי על $\ \mathbb {Q}$ הוא הערך המוחלט הרגיל שמוגדר על המספרים הממשיים, כלומר $|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$.

בהינתן מספר ראשוני p, הערך המוחלט הp-אדי על $\ \mathbb {Q}$ מוגדר בדרך הבאה: כל מספר רציונלי $\ x\neq 0$ ניתן לכתוב (בצורה יחידה) כשבר $\,x=p^{n}\cdot {\frac {a}{b}}$, שבו a ו-b מספרים שלמים הזרים לp, כאשר n מספר שלם. הערך המוחלט הp-אדי מוגדר אז על ידי

$|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}$ (וראו מספר p-אדי).

המשפט הראשון קובע, אם כן, כי כל ערך מוחלט לא טריוויאלי על $\ \mathbb {Q}$ שקול ל-$\,|\cdot |_{\infty }$ או ל-$\,|\cdot |_{p}$ עבור p ראשוני כלשהו.

מן ההגדרות נובע שהמספרים הרצונליים מקיימים את תכונת ההיפוך: לכל מספר רציונלי $\ x\neq 0$, רק מספר סופי מבין הערכים המוחלטים $\ |x|_{p}$ שונה מ-1, והמכפלה תמיד $\ |x|_{\infty }\cdot \prod _{p}|x|_{p}=1$.

לקריאה נוספת

• Gerald J. Janusz (1996–1997). Algebraic Number Fields (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
• Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Edwin Weiss (1998). Algebraic Number Theory (dover ed.). Dover. ISBN 0-486-40189-8.