בניסוח אחר, הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לגבול משותף. בעזרת הלמה אפשר להוכיח את משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל.
יהיו שתי סדרות כך שלכל טבעי -. אם מתקיים אז קיים c יחיד כך שלכל טבעי ומתקיים .
ניסוח שקול:
תהא סדרה של קטעים סגורים , כך שלכל טבעי מתקיים . אם סדרת אורכי הקטעים שואפת לאפס, כלומר , אזי קיימת נקודה יחידה ששייכת לכל אחד מהקטעים , כלומר , ומתקיים .
מתנאי המשפט נובע שלכל טבעי ולכן , ומכאן מונוטונית עולה ו- מונוטונית יורדת. נסמן ו- . מכך ש- עולה נובע שלכל טבעי ולכן חסומה מלרע, ומכאן מתכנסת לאינפימום שלה, כלומר: . באופן אנלוגי, מכך ש- יורדת נובע ש- מתכנסת לסופרימום שלה, כלומר: . בנוסף, מהנתון ומאריתמטיקה של גבולות נקבל כי
נסמן , אז לכל מתקיים , כלומר . כעת נוכיח שהנקודה c יחידה:
תהי נקודה המקיימת לכל טבעי , אז לפי כלל הסנדוויץ' ולכן c יחידה.
ללמה יש גרסה שלא כוללת דרישה להתכנסות של סדרת הקטעים. במקרה זה קיימת נקודה c, לא בהכרח יחידה, המקיימת לכל , כלומר . נגדיר לדוגמה , אז מהגדרת הסופרימום לכל מתקיים . כמו כן, ניתן להוכיח שללכל האיבר הוא חסם מלעיל של , וכיוון שהסופרימום מוגדר כחסם מלעיל המינימלי של הקבוצה מתקיים . מכאן לכל מתקיים , כלומר .
למת החיתוך של קנטור נכונה בכל מרחב מטרי שלם, בנוסח הבא: לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שהקוטר שלהן שואף לאפס, יש נקודה משותפת יחידה. תכונה זו מאפיינת מרחבים מטריים שלמים. תכונת החיתוך מתקיימת במרחב מטרי קומפקטי גם ללא התנאי על הקוטר השואף לאפס, אבל במרחב מטרי שלם שאינו קומפקטי התנאי הזה נחוץ (כפי שמראה סדרת הקרניים הימניות ).