כיוון אחד : נניח
G
=
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}
מעגלית מסדר
p
{\displaystyle p}
. יהי
σ
{\displaystyle \sigma }
יוצר שלה. אז
Tr
(
−
1
)
=
−
1
+
σ
(
−
1
)
.
.
.
+
σ
p
−
1
(
−
1
)
=
p
⋅
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0}
ולכן ממשפט 90 של הילברט , יש
α
∈
L
{\displaystyle \alpha \in L}
כך ש-
α
−
σ
(
α
)
=
−
1
{\displaystyle \alpha -\sigma (\alpha )=-1}
. מכאן
σ
(
α
)
=
α
+
1
{\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +1}
ומכאן
σ
j
(
α
)
=
α
+
j
{\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha )=\alpha +j}
. אז
α
∉
K
{\displaystyle \alpha \notin K}
כי
σ
(
α
)
≠
α
{\displaystyle \sigma (\alpha )\neq \alpha }
, וכיוון ש-
[
K
(
α
)
:
K
]
=
p
{\displaystyle [K(\alpha ):K]=p}
אז
[
K
(
α
)
:
K
]
|
p
{\displaystyle [K(\alpha ):K]|p}
ולכן
p
=
|
G
|
=
[
L
:
K
]
=
[
L
:
K
(
α
)
]
⋅
[
K
(
α
)
:
K
]
=
[
L
:
K
(
α
)
]
⋅
p
{\displaystyle p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p}
ובסך הכל
[
L
:
K
(
α
)
]
=
1
{\displaystyle [L:K(\alpha )]=1}
ולכן
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
. כמו כן לכל
j
∈
F
p
⊆
K
{\displaystyle j\in \mathbb {F} _{p}\subseteq K}
מתקיים
σ
j
(
α
p
−
α
)
=
σ
j
(
α
)
p
−
σ
j
(
α
)
=
(
α
+
j
)
p
−
α
+
j
=
α
p
−
α
{\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha }
ולכן
α
p
−
α
{\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha }
נמצא בשדה השבת
L
G
=
K
{\displaystyle L^{G}=K}
, כלומר:
α
p
−
α
∈
K
{\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha \in K}
.
כיוון שני : נניח
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
. נסמן
f
=
x
p
−
x
−
α
p
+
α
{\displaystyle f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha }
. אז לכל j מתקיים
f
(
α
+
j
)
=
(
α
+
j
)
p
−
α
−
j
−
α
p
+
α
=
j
p
−
j
=
0
{\displaystyle f(\alpha +j)=(\alpha +j)^{p}-\alpha -j-\alpha ^{p}+\alpha =j^{p}-j=0}
לפי המשפט הקטן של פרמה . לכן
f
{\displaystyle f}
מתפצל ב-
L
{\displaystyle L}
. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן
L
/
K
{\displaystyle L/K}
הרחבת גלואה . כל איבר בה,
σ
{\displaystyle \sigma }
, הוא K-אוטומורפיזם של
L
{\displaystyle L}
ולכן מעביר את
α
{\displaystyle \alpha }
לשורש כלשהו של
f
{\displaystyle f}
,
α
+
j
{\displaystyle \alpha +j}
. לכן אפשר להגדיר פונקציה
ω
:
Gal
(
L
/
K
)
→
F
p
{\displaystyle \omega :\operatorname {Gal} (L/K)\to \mathbb {F} _{p}}
המקיימת
σ
(
α
)
=
α
+
ω
(
σ
)
{\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )}
. כאן
F
p
=
Z
/
p
Z
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית
Z
/
p
Z
=
{
0
,
1
,
.
.
.
,
p
−
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...,p-1\}}
עם חיבור מודולו p. נראה ש-
ω
{\displaystyle \omega }
הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו
σ
,
τ
∈
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Gal} (L/K)}
. אז
ω
(
σ
τ
)
=
(
σ
τ
)
(
α
)
−
α
=
σ
(
α
+
ω
(
τ
)
)
−
α
=
σ
(
α
)
+
ω
(
τ
)
−
α
=
ω
(
σ
)
+
ω
(
τ
)
{\displaystyle \omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )}
ולכן
ω
{\displaystyle \omega }
הומומורפיזם . תמונתו היא תת-חבורה של
F
P
{\displaystyle \mathbb {F} _{P}}
, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של
ω
{\displaystyle \omega }
הוא
{
σ
|
σ
(
α
)
=
α
}
=
{
Id
}
{\displaystyle \{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\operatorname {Id} \}}
לכן הוא איזומורפיזם . לכן החבורה מעגלית מסדר
p
{\displaystyle p}
כרצוי.
מ.ש.ל.