משפט הצפיפות של צ'בוטרב

משפט הצפיפות של צ'בוטרב הוא משפט מרכזי בתורת המספרים האלגברית. עבור הרחבת גלואה נתונה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה G, המשפט מתאר כיצד מתפלגת בין איברי G העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני הנבחר, כביכול, באקראי. משפט הצפיפות מהווה הכללה משותפת למשפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות ולמשפט פרובניוס על פירוק פולינום שלם מודולו ראשוניים שונים. בין המסקנות החשובות מהמשפט: בכל שדה מספרים, האידיאלים הראשוניים מתפלגים באופן אחיד (במובן של צפיפות דיריכלה) בין המחלקות השונות של חבורת מחלקות האידיאלים.

משפט הצפיפות: תהי K/F הרחבת גלואה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה $\ G=\operatorname {Gal} (K/F)$. עבור כל מחלקת צמידות C של G, לקבוצת הראשוניים p שעבורן העתקת פרובניוס שייכת ל-C יש צפיפות דיריכלה השווה ל- $\ {\frac {|C|}{|G|}}$. יש להבחין שהעתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (של F) אינה מוגדרת היטב כאיבר של G, אלא עד כדי הצמדה. לכן קובע המשפט למעשה שהעתקת דיריכלה מקבלת כל ערך אפשרי בחבורה, ב"הסתברות" אחידה.

אם f הוא פולינום מתוקן בעל מקדמים בחוג השלמים האלגבריים $\ O_{F}$ של F, אז העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (שהוא אידיאל ראשוני בחוג השלמים) פועלת על שורשי הפולינום בשדה השאריות $\ O_{K}/P$ באמצעות העלאה בחזקת $\ q=|O_{F}/p|$. לפי תורת גלואה של שדות סופיים, מבנה המחזורים של פעולה זו שווה לתבנית הפירוק של הפולינום f מעל השדה $\ O_{F}/p$. כך אפשר להסיק ממשפט הצפיפות של צ'בוטרב את משפט פרובניוס.

צ'בוטרב (1894-1947) הוכיח את המשפט ב-1922, באמצעות רדוקציה של הרחבת שדות כללית להרחבה ציקלוטומית. כדי להוכיח את המשפט עבור הרחבה ציקלוטומית K/F, הוא פירק את פונקציית זטא של השדה K כמכפלה של פונקציות L של השדה F, בדומה לאופן שבו הוכיח דיריכלה את המשפט שלו. ההוכחה פורסמה ב-1923 ברוסית, ואז ב-1925 בגרמנית. שנתיים אחר-כך נעזר אמיל ארטין בשיטת הרדוקציה של צ'בוטרב כדי להוכיח את משפט ההיפוך שלו, ושיטה זו היא עדיין צעד חיוני בכל הוכחה של משפט ההיפוך. את המשפט של צ'בוטרב, לעומת זאת, גוזרת הספרות המודרנית ממשפט ההיפוך, המטפל באופן ישיר בכל הרחבת שדות אבלית.

קישורים חיצוניים

• משפט הצפיפות של צ'בוטרב, באתר MathWorld (באנגלית)