משפט המודולריות

משפט המודולריות, המוכר גם בשם משפט טניאמה-שימורה, מקשר בין עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות, שני תחומים מתמטיים שלכאורה נראים נפרדים. משפט המודולריות הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורה האריתמטית של עקומים אליפטיים.

ניסוח עריכה

יהא $E$ עקום אליפטי שמוגדר מעל שדה המספרים הרציונלים. המשפט טוען שיש מספר טבעי N והעתקה לא קבועה $X_{0}(N)\rightarrow E$ , כאשר $X_{0}(N)$ הוא העקום המודולרי מדרגה N.

ניסוח שקול הוא שפונקצית L של העקום היא תבנית מודולרית ממשקל 2. הקשר בין הניסוחים הוא שאם $\phi :X_{0}(N)\rightarrow E$ היא העתקה לא קבועה ו- $\omega$ היא 1-תבנית הולומורפית על $E$ (יש אחת כזאת, עד כדי כפל בסקלר), אז המשיכה לאחור $\phi ^{*}\omega$ היא תבנית מודולרית ועל פי תורת אייכלר--שימורה, מתאימה לפונקצית L של $E$ .

היסטוריה עריכה

המשפט נוצר תחילה כהשערה שנוסחה על ידי המתמטיקאי היפני הצעיר יוטאקה טניאמה בספטמבר 1955 ובוססה לאחר מכן על ידי עמיתו גורו שימורה, ועל שמם נקרא המשפט. ההשערה נודעה במערב לאחר שאנדרה וייל הקדיש לה מאמר, שבו הציג ראיות התומכות בה.

ההשערה קובעת שכל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים הוא "מודולרי" (כלומר, פונקציית L של העקום מתלכדת עם פונקציית L של תבנית מודולרית). כבר לפני שנמצאה להשערה זו הוכחה, נכתבו מאמרים על התוצאות שאפשר יהיה להסיק ממנה, כאשר תוכח.

בשנת 1984 הראה המתמטיקאי גרהארד פריי (אנ') שמתוך דוגמה נגדית להמשפט האחרון של פרמה ניתן לבנות עקום אליפטי לא מודולרי, דבר אשר מוכיח כי נכונות השערת טניאמה-שימורה תגרור את נכונות המשפט האחרון של פרמה. טענה זו נודעה בשם "השערת האפסילון" והוכחה בידי קן ריבט. בשנת 1995 הצליח אנדרו ויילס, לאחר 7 שנות עבודה, לגבור על התעלומה וזכה בתהילה כמוכיח את נכונות השערת טניאמה-שימורה לגבי תת-קבוצה חשובה של עקומים אליפטיים ("המקרה היציב למחצה"). די היה בהוכחה זו כדי להוכיח את המשפט האחרון של פרמה.

ההשערה של טניאמה-שימורה היא, בסופו של דבר, בעיה של ספירת הנקודות שיש לעקום אליפטי כאשר מצמצמים אותו לשדה סופי. לשם כך, חקר ויילס הצגות גלואה (אנ') (שהיא הצגה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים) המתקבלות מן העקום האליפטי, תבניות מודולריות, וערכים מיוחדים של פונקציות L המתאימות.

בשנת 1996 ניתן פרס וולף לאנדרו ויילס ולרוברט לנגלנדס על התקדמותם המזהירה לקראת הוכחת המשפט.

ההוכחה למשפט טניאמה-שימורה במלואה ניתנה בשנת 1999 על ידי קבוצה של ארבעה מתמטיקאים^[1], ובהם ריצ'רד טיילור, תלמידו לשעבר של ויילס. טיילור נעזר ברעיונות של ויילס כדי לפתור את השערת ארטין עבור הצגות גלואה שבהן המסלול של הנקודה 1/2 תחת פעולת חבורת המטריצות $\ \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ מתאים לחבורת התמורות הזוגיות $\ A_{5}$ .