על פי עיקרון זה, הזכייה הכוללת מחולקת כולה בין השחקנים, ללא בזבוז.
הגדרה פורמלית : פתרון
φ
{\displaystyle \varphi }
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
∑
i
∈
N
φ
i
(
N
;
v
)
=
v
(
N
)
{\displaystyle \sum _{i\in N}\varphi _{i}(N;v)=v(N)}
כלומר, סכום הרווחים של כל השחקנים שווה לשווי של הקואליציה .
על פי עיקרון זה, שני שחקנים שתרומתם שווה לכל קואליציה, יזכו באותה תמורה.
הגדרה פורמלית : פתרון
φ
{\displaystyle \varphi }
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
φ
i
(
N
;
v
)
=
φ
j
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right)}
על פי עיקרון זה, אם התרומה השולית של שחקן מסוים לכל קואליציה במשחק אחד זהה לתרומתו השולית לכל קואליציה במשחק אחר, אזי הוא יקבל את אותו הסכום בשני המשחקים.
הגדרה פורמלית : פתרון
φ
{\displaystyle \varphi }
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
(
N
;
w
)
{\displaystyle \left(N;w\right)}
אם
∀
S
⊆
N
∖
{
i
}
{\displaystyle \forall S\subseteq N\setminus \left\{i\right\}}
v
(
S
∪
{
i
}
)
−
v
(
S
)
=
w
(
S
∪
{
i
}
)
−
w
(
S
)
{\displaystyle v(S\cup \left\{i\right\})-v(S)=w(S\cup \left\{i\right\})-w(S)}
אז
φ
i
(
N
;
v
)
=
φ
i
(
N
;
w
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{i}\left(N;w\right)}
ערך שפלי מקיים את שלושת העקרונות המצוינים במשפט.
תחילה נראה כי פתרון המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות מקיים גם את עקרון שחקן האפס .
אכן, יהי
φ
{\displaystyle \varphi }
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
יהי
(
N
;
z
)
{\displaystyle \left(N;z\right)}
קואליציה S.
במשחק
(
N
;
z
)
{\displaystyle \left(N;z\right)}
φ
j
(
N
;
z
)
=
0
{\displaystyle \varphi _{j}\left(N;z\right)=0}
∀
j
∈
N
,
{\displaystyle \forall {j}\in {N},}
מכאן התרומה השולית של i לכל קואליציה הן ב v והן ב z היא 0, ולכן מעיקרון השוליות
φ
i
(
N
;
v
)
=
φ
i
(
N
;
z
)
=
0
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{i}\left(N;z\right)=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
היעילות, הסימטריה והשוליות הוא ערך שפלי , כלומר שמתקיים
φ
=
S
h
{\displaystyle \varphi =Sh}
לכל משחק
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
I
(
N
;
v
)
=
{
S
⊆
N
:
∃
T
⊆
S
,
v
(
T
)
≠
0
}
{\displaystyle I\left(N;v\right)=\left\{S\subseteq N:\ \exists T\subseteq S,v\left(T\right)\ \neq 0\right\}}
לכל קואליציה S נגדיר משחק
(
N
;
v
s
)
{\displaystyle \left(N;\ v^{s}\right)}
v
s
(
T
)
=
v
(
S
∩
T
)
,
∀
T
⊆
N
{\displaystyle \ v^{s}\left(T\right)=v\left(S\cap T\right),\forall {T}\subseteq {N}}
ניתן לראות כי כל השחקנים שאינם ב S הם שחקני אפס ב
(
N
;
v
s
)
{\displaystyle \left(N;\ v^{s}\right)}
S
h
i
(
N
;
v
s
)
=
0
=
φ
i
(
N
;
v
s
)
{\displaystyle \ Sh_{i}\left(N;\ v^{s}\right)=0=\varphi _{i}\left(N;v^{s}\right)}
I
(
N
;
v
−
v
s
)
⊂
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle I\left(N;v-v^{s}\right)\subset I\left(N;v\right)}
S
∈
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle S\in I\left(N;v\right)}
אכן,
I
(
N
;
v
−
v
s
)
⊆
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle I\left(N;v-v^{s}\right)\subseteq I\left(N;v\right)}
T
∈
I
(
N
;
v
−
v
s
)
{\displaystyle T\in I\left(N;v-v^{s}\right)}
R
⊆
T
{\displaystyle R\subseteq T}
(
v
−
v
s
)
(
R
)
≠
0
{\displaystyle \left(v-v^{s}\right)\left(R\right)\neq 0}
לכן בהכרח
v
(
R
)
≠
0
{\displaystyle v\left(R\right)\neq 0}
v
s
(
R
)
=
v
(
R
∩
S
)
≠
0
{\displaystyle v^{s}\left(R\right)=v\left(R\cap S\right)\neq 0}
T תת-קואליציה שערכה אינו 0 ונקבל ש
T
∈
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle T\in I\left(N;v\right)}
כמו כן
S
∉
I
(
N
;
v
−
v
s
)
{\displaystyle S\not \in I\left(N;v-v^{s}\right)}
T
⊆
S
{\displaystyle T\subseteq S}
(
v
−
v
s
)
(
T
)
=
v
(
T
)
−
v
s
(
T
)
=
v
(
T
)
−
v
(
T
)
=
0
{\displaystyle \left(v-v^{s}\right)\left(T\right)=v\left(T\right)-v^{s}\left(T\right)=v\left(T\right)-v\left(T\right)=0}
ולכן
S
∉
I
(
N
;
v
−
v
s
)
{\displaystyle S\not \in I\left(N;v-v^{s}\right)}
אינדוקציה על מספר האיברים ב
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle I\left(N;v\right)}
|
I
(
N
;
v
)
|
=
0
{\displaystyle \left|I\left(N;v\right)\right|=0}
v
(
S
)
=
0
{\displaystyle v\left(S\right)=0\ }
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
)
=
0
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)=0}
φ
(
N
;
v
)
=
S
h
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi \left(N;v\right)=Sh\left(N;v\right)}
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
|
I
(
N
;
v
)
|
<
k
{\displaystyle \left|I\left(N;v\right)\right|<k}
(
N
;
v
)
{\displaystyle \left(N;v\right)}
|
I
(
N
;
v
)
|
=
k
{\displaystyle \left|I\left(N;v\right)\right|=k}
S
∈
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle S\in I\left(N;v\right)}
i
∉
S
{\displaystyle i\not \in S}
φ
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)}
ראינו ש
|
I
(
N
;
v
−
v
s
)
|
<
|
I
(
N
;
v
)
|
=
k
{\displaystyle \left|I\left(N;v-v^{s}\right)\right|<\left|I\left(N;v\right)\right|=k}
φ
i
(
N
;
v
−
v
s
)
=
S
h
i
(
N
;
v
−
v
s
)
,
∀
i
∈
N
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v-v^{s}\right)=Sh_{i}\left(N;v-v^{s}\right),\forall {i}\in {N}}
לכל קואליציה { i }\
T
⊆
N
{\displaystyle T\subseteq N\ }
(
v
−
v
s
)
(
T
∪
i
)
=
v
(
T
∪
i
)
−
v
(
S
∩
(
T
∪
i
)
)
=
v
(
T
∪
i
)
−
v
s
(
T
)
{\displaystyle \left(v-v^{s}\right)\left(T\cup \ i\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v\left(S\cap \left(T\cup \ i\right)\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v^{s}\left(T\right)}
לכן התרומה השולית של i במשחק
v
−
v
s
{\displaystyle v-v^{s}}
היא:
(
v
−
v
s
)
(
T
∪
i
)
−
(
v
−
v
s
)
(
T
)
=
v
(
T
∪
i
)
−
v
s
(
T
)
−
v
(
T
)
+
v
s
(
T
)
=
v
(
T
∪
i
)
−
v
(
T
)
{\displaystyle \left(v-v^{s}\right)\left(T\cup \ i\right)-\left(v-v^{s}\right)\left(T\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v^{s}\left(T\right)-v\left(T\right)+v^{s}\left(T\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v\left(T\right)}
כלומר התרומה השולית של שחקן i ב
v
−
v
s
{\displaystyle v-v^{s}}
שווה לתרומה השולית שלו ב
v
{\displaystyle v}
נתון ש
φ
{\displaystyle \varphi }
ערך שפלי מקיים עיקרון זה, לכן -
φ
i
(
N
;
v
)
=
φ
i
(
N
;
v
−
v
s
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{i}\left(N;v-v^{s}\right)}
S
h
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
−
v
s
)
{\displaystyle Sh_{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v-v^{s}\right)}
i
∉
S
{\displaystyle i\not \in S}
ונקבל (מהנחת האינדוקציה) כי
φ
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)}
i
∉
S
{\displaystyle i\not \in S}
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle I\left(N;v\right)}
φ
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)}
נסמן ב *S את חיתוך כל הקואליציות ב
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle I\left(N;v\right)}
באופן ריק ).
נבחין כי לכל קואליציה T שאינה מכילה את *S מתקיים
v
(
T
)
=
0
{\displaystyle v\left(T\right)=0}
v
(
T
)
≠
0
{\displaystyle v\left(T\right)\neq 0}
T
∈
I
(
N
;
v
)
{\displaystyle T\in I\left(N;v\right)}
כמו כן כל שני שחקנים i, j ב *S הם סימטריים כי לכל קואליציה R שאינה מכילה את i ו- j הקואליציות
R
∪
j
{\displaystyle R\cup j}
R
∪
i
{\displaystyle R\cup i}
v שלהן הוא 0.
מכיוון ש
φ
{\displaystyle \varphi }
Sh מקיימים את עקרון הסימטריה:
φ
i
(
N
;
v
)
=
φ
j
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right)}
S
h
i
(
N
;
v
)
=
S
h
j
(
N
;
v
)
{\displaystyle Sh_{i}\left(N;v\right)=Sh_{j}\left(N;v\right)}
מכיוון ש
φ
{\displaystyle \varphi }
Sh מקיימים את עקרון היעילות וראינו ש
φ
i
(
N
;
v
)
=
S
h
i
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)}
∑
i
∈
S
∗
φ
i
(
N
;
v
)
=
v
(
N
)
−
∑
i
∉
S
∗
φ
i
(
N
;
v
)
=
v
(
N
)
−
∑
i
∉
S
∗
S
h
i
(
N
;
v
)
=
∑
i
∈
S
∗
S
h
i
(
N
;
v
)
{\displaystyle \sum _{i\in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)=v\left(N\right)-\sum _{i\not \in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)=v\left(N\right)-\sum _{i\not \in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)=\sum _{i\in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)}
מכאן, שלכל שחקן j ב *S:
φ
j
(
N
;
v
)
=
1
|
S
∗
|
∑
i
∈
S
∗
φ
i
(
N
;
v
)
=
1
|
S
∗
|
∑
i
∈
S
∗
S
h
i
(
N
;
v
)
=
S
h
j
(
N
;
v
)
{\displaystyle \varphi _{j}\left(N;v\right)={\frac {1}{|S^{*}|}}\sum _{i\in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)={\frac {1}{|S^{*}|}}\sum _{i\in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)=Sh_{j}\left(N;v\right)}
φ
=
S
h
{\displaystyle \varphi =Sh}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
