משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק של הסדר של חבורה , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה מתחלק ב-. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895[1].

ניסוח המשפט

עריכה

תהי G חבורה ויהי   מחלק של הסדר  . נסמן ב   את אוסף האיברים מסדר המחלק את  . אזי  .

הוכחה

עריכה

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר  , כאשר   זרים, אפשר לפרק בצורה   כאשר   (למעשה אפשר לבחור את   להיות חזקות של  ).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם   לא ריקה אז   כאשר   היא פונקציית אוילר. בנוסף אם   מהצורה   כאשר   ואם   אז   ריקה או ש  .

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא:  , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים  . לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא  . מקבלים ש   איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש  . נרשום את A בצורה הבאה:  . אם A אינה ריקה נקבל ש  כאשר   מסמן את המחלקה של  . כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב  . ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו  . ההוכחה באינדוקציה כפולה על  . מקרה הבסיס   או   טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי  . תהי  . מתקיים  .

מאינדוקציה נקבל כי   ולכן מספיק להראות ש  . אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה   ולכן מספיק להראות ש  . נרשום  ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש  . נסמן ב   את המרכז של a וב   את מחלקת הצמידות של  . עבור   ב   נגדיר  . מקבלים ש  . נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו  . נקבל ש  . כיוון ש  וכן  נקבל ש   והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש   לכל a מסדר  . נשים לב שהעתקה   היא התאמה חח"ע ועל ולכן  . יהי  . ההתאמה   היא התאמה חח"ע ועל מ   ל  . כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש   ולכן  . ממשפט מסלול מייצב נקבל ש   ולכן  . כיוון שגם   וגם   מחלקים את   נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם   מחלקת את  . לכן   מחלק את  . מכיוון ש   נקבל ש   וסיימנו.

שימושים

עריכה

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש   ו   סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת   סילו היא נורמלית ב   ובנוסף   חבורה פתירה. בפרט אם  חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת   סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על   ש   עבור   כך ש  . המקרה של   ברור. נניח שהראנו לכל מחלק   מהצורה לעיל הגדול מ  , ונוכיח כעת עבור  . יהי   המחלק הראשוני הגדול ביותר של  . תהי . כיוון שחבורות   סילו ציקליות,   לא ריקה. מהנחת האינדוקציה  . ממשפט פרובניוס קיים   כך ש  . מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש   מהצורה של   כל מחלק של   הוא לפחות   ולכן   לכן   ולכן  . קיבלנו לכן ש   עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור  נקבל ש   ונקבל שתת-חבורת ה   סילו   יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה  ,  פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ  .

2) על ידי חישוב   בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל   על ידי חישוב   בחבורה הסימטרית   ניתן להראות כי מתקיים: .

תוצאות נוספות

עריכה
  • גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם   היא מחלקת צמידות עם   איברים אזי מספר האיברים   כך ש   נמצא ב   מתחלק ב  [2].
  • פרובניוס שיער שאם   ו   אז  , תת-חבורה נורמלית של  . ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה[3].

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ F. G. Frobenius, Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes, Berliner Sitz
  2. ^ Hall Jr.Marshall, Theory of Groups, LCCN, 1959
  3. ^ NOBUO IIYORI AND HIROYOSHI YAMAKI, ON A CONJECTURE OF FROBENIUS