משתמש:איש הסילונים/הוכחות מתמטיות שגיליתי בס"ד בעצמי

שורשי שדה המספרים הטבעיים

$\neg \exists (a,b,m,n)\in \mathbb {N} :m\perp n,n>1:{\sqrt[{b}]{a}}={\frac {m}{n}}$

לאמר: לא קיימים מספרים טבעיים $a,b,m,n$ כך שיתקיים שוויון ${\sqrt[{b}]{a}}={\frac {m}{n}}$, כאשר $m$ ו-$n>1$ זרים.

הוכחה

$(1$ נניח בשלילה כי קיימים $(a,b,m,n)\in \mathbb {N}$ כאשר $m$ ו-$n>1$ זרים זה לזה, כך ש- ${\sqrt[{b}]{a}}={\frac {m}{n}}$.

• מספרים $m,n$ זרים אם ורק אם המחלק המשותף המקסימל ביניהם הוא $\gcd(m,n)=1$.

$(2$ נעלה את הביטוי ב-$b$ טבעי ונקבל $a=\left({\frac {m}{n}}\right)^{b}$ או $a={\frac {m^{b}}{n^{b}}}$.

$(3$ לעומת זאת, נתון לנו כי $n^{b}|m^{b}$, כלומר במשוואה $n^{b}$ מחלק את $m^{b}$ בשלמות $a$ פעמים.

$(4$ המשוואה $an^{b}=m^{b}$ מתחלקת ב-$n$ בשלמות בשני אגפיה (למת אוקלידס). כלומר $n|(an^{b})$ וגם $n|(m^{b})$ בשלמות.

$(5$‏ $n|m^{b}$ אם ורק אם גם $n|m$ בשלמות. מכאן נקבל שאכן $n|m$.

$(6$ עתה קיבלנו שהמחלק המשותף המקסימל שלהם הוא $\gcd(m,n)=n$ אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.

לכן לא קיים שוויון כזה. מ.ש.ל. ■