משתמש:איש הסילונים/הוכחות מתמטיות שגיליתי בס"ד בעצמי

שורשי שדה המספרים הטבעייםעריכה

 

לאמר: לא קיימים מספרים טבעיים   כך שיתקיים שוויון  , כאשר   ו-  זרים.

הוכחהעריכה

  נניח בשלילה כי קיימים   כאשר   ו-  זרים זה לזה, כך ש-  .
  נעלה את הביטוי ב-  טבעי ונקבל   או  .
  לעומת זאת, נתון לנו כי  , כלומר במשוואה   מחלק את   בשלמות   פעמים.
  המשוואה   מתחלקת ב-  בשלמות בשני אגפיה (למת אוקלידס). כלומר   וגם   בשלמות.
   אם ורק אם גם   בשלמות. מכאן נקבל שאכן  .
  עתה קיבלנו שהמחלק המשותף המקסימל שלהם הוא   אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.

לכן לא קיים שוויון כזה. מ.ש.ל. ■