הוכחה בדרך השלילה

ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: אין מקורות מתחום הספרות הפילוסופית לערך כלל על אף שכביכול מדובר במונח פילוסופי.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בלוגיקה ובמתמטיקה הוכחה בדרך השלילה או הוכחה עקיפה[1] היא שיטת הוכחה לפיה אם הפרכת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית — הטיעון נכון. (או באופן שבו משתמשים בזה בדרך כלל- אם הנחת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית, אזי הטיעון ההפוך בהכרח נכון.)

שיטה זו מבוססת על כלל השלישי מן הנמנע בלוגיקה לפיו או שמשהו הוא נכון, או שהוא אינו נכון; עם זאת, ישנם זרמים במתמטיקה דוגמת האינטואיציוניזם שאינם מקבלים שיטה זו, ובפרט דוחים את הטיעון ששלילה כפולה[דרושה הבהרה] משמעותה נכונות ועל כן, אינם מבינים הוכחה בדרך השלילה כהוכחה קבילה.

אטימולוגיהעריכה

המונח נקרא בבאנגלית Proof by contradiction ומקורו מלטינית: Reductio ad absurdum – רֶדּוּקְצְיוֹ אַדּ אַבְּסוּרְדּוּם - רדוקציה לאבסורד ("צמצום לאבסורד").

מתמטיקהעריכה

הוכחה בדרך השלילה נפוצה למדי במתמטיקה. אוקלידס הִרְבָּה להשתמש בהוכחות בדרך השלילה, וכמה מהן התפרסמו במיוחד, כמו ההוכחה לכך שאין מספר ראשוני שהוא הגדול ביותר; כלומר, שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה מובאת במלואה בערך קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחה על דרך השלילה נוספת, הידועה כבר מן הזמן העתיק ומופיעה למשל בכתבי אריסטו היא ההוכחה ששורש 2 אינו רציונלי.

פילוסופיהעריכה

ההוכחה הראשונה על דרך השלילה בפילוסופיה מיוחסת לפילוסופים האלאטים, אף על פי כן, נראה שכבר הפיתגוראים השתמשו בה.

יש הטוענים[דרוש מקור] כי ראשון המשתמשים בה היה זנון מאליאה, שכן הוא הוכיח את טענת מוֹרוֹ פארמנידס באמצעות 'רדוקציה אד אבסורדום' של טענות מתנגדיו. הטענות אותן הפריך באופן זה הן: ישנה תנועה בעולם. וכן: ישנו ריבוי בעולם. היסטוריון המתמטיקה סזאבו סבור כי כבר בשירו של פארמנידס ניכר מבנה הרדוקציה אד אבסורדום. פארמנידס מניח כי ישנו 'אין' (שהוא מזהה עם חלל ריק) ומוכיח כי מדובר בסתירה עצמית. כך הוא מוכיח כי אין בעולם ריק, לכן העולם מלא, ומכאן שהתנועה בו אינה אפשרית.

הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים ובדיבייטינג לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה לשמש כדרך לבירור האמת, שכן ניתן להצביע בה על כשלים רעיוניים בדברי הדובר השני, כפי שתראנה שתי הדוגמאות הבאות:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן.
בני: מה לגבי דעתו של דוד? (כאשר דוד מחזיק בדעה שיש בדיון קונצנזוס על אי-נכונותה).
אבי: אני מסכים שניתן להכחיש את דעתו של דוד.
בני: אם ניתן להכחיש את דעותיו של דוד, הרי שלא נכון שלא ניתן להכחיש אף דעה. על כן, ניתן להכחיש את דעותיו של גדי, ואני יכול לעשות זאת עם נימוקים מספיקים.

דוגמה פשוטה יותר ללא צורך באזכור דעתו של דוד:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן.
בני:
  1. אני מכחיש דעתך וטוען שהיא שגויה.
  2. לפי הטיעון שלך, דעה 1 תקפה כמו כל שאר הדעות.
  3. מצד שני, הדעה שלך גם נוגדת וסותרת את 1, שכן היא ההפך הגמור ממנה.
  4. מסקנות 2 ו־3 סותרות זו את זו, ולכן ההנחה הבסיסית שלך שגויה ופסולה.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ תלמה לויתן, יסודות החשיבה המתמטית : צעדים ראשונים במתמטיקה מתקדמת, מכון מופ"ת, תשע"ג 2012, פרק 8.1. (בעברית)