הלמה של לנדאו

באנליזה מרוכבת ובתורת המספרים האנליטית הלמה של לנדאו היא משפט הקושר בין אבסיסת ההתכנסות של טור דיריכלה לקטבים שלו. הלמה הוכחה על ידי אדמונד לנדאו בשנת 1905 כחלק מסדרת עבודותיו בתורת המספרים האנליטית. מאז הלמה הפכה לכלי שימושי מאוד בתורת המספרים האנליטית.

רקע

טור חזקות

ערך מורחב – טור חזקות

טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה $\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ כאשר $\ a_{n}$ היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - $z$ הוא משתנה מרוכב.

אם $\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ הוא טור חזקות, אז קיים $\ 0\leq r\leq \infty$ כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא העיגול $\{z||z|<r\}$ המספר $r$ נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור. תכונה חשובה של טורי חזקות היא שאי אפשר להמשיך אותם אנליטית לעיגולים בעלי רדיוס גדול יותר מרדיוס ההתכנסות שלהם. מנקודת מבט של טור טיילור של פונקציה אנליטית, תכונה זו אומרת שרדיוס ההתכנסות של טור טילור הוא המרחק לסינגולריות הקרובה ביתר. אותו הדבר נכון עבור כל פונקציית L של דיריכלה ביחס לקרקטר דיריכלה לא טריוויאלי.

טור דיריכלה

ערך מורחב – טור דיריכלה

טור דיריכלה הוא טור פונקציות מהצורה $$f(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$ כאשר $\ a_{n}$ היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - $s$ הוא משתנה מרוכב.

אם $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ הוא טור דיריכלה, אז קיים $-\infty \leq \sigma \leq \infty$ כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא חצי המישור $\{s|\Re (s)>\sigma \}$. המספר $\sigma$ נקרא אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.

בשונה מטורי חזקות, במקרים רבים, ניתן להמשיך אנליטית טורי דיריכלה לחצאי מישורים גדולים יותר מתחום ההתכנסות שלהם. לדוגמה, הטור $$L(s):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$$ הוא דוגמה לפונקציית L של דיריכלה. אבסיסת ההתכנסות שלו היא 1 אולם ניתן להמשיך אותו אנליטית לכל המישור המרוכב.

הלמה של לנדאו אומרת שדבר כזה לא יתכן אם מקדמי הטור חיוביים.

ניסוח

בהינתן:

• סדרת מספרים ממשיים חיוביים $a_{n}$
• שני מספרים ממשיים $\sigma _{1}<\sigma _{2}$

כך ש:

1. הטור $f(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ מתכנס עבור כל $s$ המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \Re(s)>\sigma_2}
2. לפונקציה $f(s)$ יש המשכה אנליטית לתחום $\{s|\Re (s)>\sigma _{2}\}$

אז הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ מתכנס לכל עבור כל $s$ המקיים $\Re (s)>\sigma _{1}$.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ההוכחה לא מסובכת והיא מבוססת על השוואה בין טור דיריכלה לטור טיילור של הפונקציה בנקודות שונות, ועל העובדה שטור טילור מתכנס בכל עיגול בה הפונקציה אנליטית.

שימושים

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

מקורות

• Narkiewicz, Władysław (2000), The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood