טור דיריכלה

בתורת המספרים האנליטית, טור דיריכלה הוא טור מהצורה $\,f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$, כאשר המקדמים $\ a_{n}$ הם קבועים (בדרך כלל שלמים, או שורשי יחידה), ו-s הוא משתנה מרוכב. טורים מן הסוג הזה הופיעו כבר במאה ה-17 (ראו למשל בעיית בזל), ואוילר מצא דרכים מתוחכמות לקשור אותם אל המספרים הראשוניים. דיריכלה הפך אותם לכלי מרכזי בהוכחת המשפט שלו על ראשוניים בסדרות חשבוניות, והטורים קרויים על-שמו.

דוגמאות

טור הדיריכלה המפורסם ביותר הוא:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

שהוא פונקציית זטא של רימן. טור דיריכלה אחר הוא

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

כאשר $\ \mu (n)$ היא פונקציית מביוס. טורים נוספים אפשר לפתח על ידי הפעלת נוסחת ההיפוך של מביוס וקונבולוציית דיריכלה על סדרה ידועה.

זהויות אחרות כוללות את

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

כאשר $\ \varphi (n)$ היא פונקציית אוילר, ו-

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}$

כאשר $\ \sigma _{a}(n)$ היא פונקציית המחלקים.

ראו גם

• מכפלת אוילר

קישורים חיצוניים

• טור דיריכלה, באתר MathWorld (באנגלית)
• טורי דירילכט, דף שער בספרייה הלאומית