משתמש:DeadlosZ/התמרה אינטגרלית

במתמטיקה, התמרה אינטגרלית (אנגלית: Integral transform) היא שם כללי להתמרות מהסוג הבא: $F[f\left(t\right)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)f(t)dt$ זוהי התמרה המקבלת פונקציה $f$ ומחזירה פונקציה אחרת $F[f\left(t\right)]$ בצורה הפיכה, כאשר $F[f\left(t\right)]$ היא פונקציה של המשתנה $u$ . התמרה אינטגרלית היא סוג של אופרטור מתמטי . ההתמרות האינטגרליות השונות מופרדות אחת מהשנייה לפי הפונקציה $K(u,t)$ הנקראת לרוב גרעין ההתמרה.

כפי שנאמר, ההתמרה האינטגרלית היא התמרה הפיכה, וההתמרה ההופכית לה נקבעת על ידי הנוסחה הבאה: $f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(t,u)F[f\left(t\right)]du$ הסיבה העיקרית להגדרת התמרות אינטגרליות בפרט, והתמרות באופן כללי, היא פתרון בעיות שלא פתירות בהצגתן הרגילה, או שפתרונן דורש מניפולציות אלגברית מסובכות. על מנת לפשט את הבעיה, נמפה את המשוואה באמצעות ההתמרה למישור שונה, שבו הבעיה יותר פשוטה. המערכת נפתרת במישור החדש, ואז הפיתרון מומר בחזרה אל המישור המקורי בעזרת ההתמרה ההופכית.

היסטוריה

התמרות אינטגרליות הופיעו לראשונה בכתבי אוילר. הם נמצאו בחלקים בעבודתו משנת 1763, ופותחו לצורך יתרון מקרים פרטיים של משוואות דיפרנציאליות, ולאחר מכן בשנת 1769 בצורה שלמה ומוכללת יותר. אוילר עבד על

דוגמה לשימוש בהתמרה אינטגרלית

התמרה אינטגרלית קלאסית ופשוטה יחסית היא התמרת פורייה - ההתמרה המתקבל על ידי הצבה ${\textstyle K(u,t)=e^{-2\pi iut},t_{1}=-\infty ,t_{2}=\infty }$ (כאשר ${\textstyle \infty }$ משמעותו השאפה לאינסוף). כלומר: $F(f(t))=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-iut}f(t)dt$ נסתכל על מד"ר לינארית מסדר שני מהצורה: $Af''(t)+Bf'(t)+Cf(t)=g(t)$ . נוכל לפתור את המד"ר בצורה פשוטה יחסית באמצעות חישוב התמרת פורייה של המד"ר.

במקרה של התמרת פורייה, מתקיים באופן כללי כי (ראו התמרת פורייה) $F(f^{(n)}(t))=(it)^{n}F(f(t))$ , ולכן התמרת פורייה של המ"דר תהיה:

$A\cdot \left(it\right)^{2}F\left[f\left(t\right)\right]+B\cdot \left(it\right)F\left[f\left(t\right)\right]+C\cdot F\left[f\left(t\right)\right]=F\left[g\left(t\right)\right]$

נוכל לבודד את $F\left[f\left(t\right)\right]$ ולקבל כי:

$F\left[f\left(t\right)\right]={\frac {F\left[g\left(t\right)\right]}{A\left(it\right)^{2}+B\left(it\right)+C}}$

וכעת נותר רק לחשב את התמרת פורייה ההופכית של המשוואה המתקבלת מהצבה ${\textstyle K^{-1}\left(u,t\right)=e^{2\pi iut}}$ , ולקבל את הפיתרון הכללי. לעתים קרובות זהו ביטוי שקל הרבה יותר לחשב (ראו משפט השאריות) מאשר לפתור את המד"ר המקורית.

טבלת התמרות אינטגרליות

ישנן סוגים רבים של התמרות אינטגרליות, כתלות בגרעין ההתמרה. נציג כאן טבלה המרכזת במקוצר מספר התמרות:

טבלת התמרות אינטגרליות
שם ההתמרה	סימון מקובל	K	f(t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
התמרת אבל		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		u	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	t	$\infty$
התמרת פורייה	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
התמרת פורייה סינוסית	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
התמרת פורייה קוסינוסית	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	0	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	0	$\infty$
התמרת הנקל		$t\,J_{\nu }(ut)$		0	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	0	$\infty$
התמרת הארטלי	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
התמרת הרמיט	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
התמרת הילברט	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
התמרת יעקובי	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
התמרת Laguerre	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
התמרת לפלס	${\mathcal {L}}$	e^−ut		0	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
התמרת לז'נדר	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
התמרת Mellin	${\mathcal {M}}$	t^u−1		0	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
התמרת לפלס דו צדדית	${\mathcal {B}}$	e^−ut		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
גרעין פואסון		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		0	2π
התמרת ויירשטראס	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$