גרעין פואסון הדו-ממדי מוגדר על ידי
P
r
(
θ
)
=
1
−
r
2
1
−
2
r
c
o
s
(
θ
)
+
r
2
{\displaystyle P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}}
, כאשר
0
≤
r
<
1
,
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq r<1,0\leq \theta <2\pi }
. זוהי העתקה חשובה באנליזה מרוכבת ובתורת הפונקציות ההרמוניות , העומדת בבסיס נוסחת פאוסון , בעזרתה מוכיחים טענות שימושיות רבות באנליזה הרמונית , כמו למשל את השקילות שבין פונקציה הרמונית לפונקציה המקיימת את תכונת הערך הממוצע .
הפונקציה נקראת על שמו של סימאון דני פואסון . בעזרת גרעין פואסון ניתן לפתור את משוואת לפלס הדו-ממדית על עיגול היחידה עם תנאי דיריכלה. לגרעין פואסון יש גם שימושים בפיזיקה, כמו בתורת הבקרה ובאלקטרוסטטיקה .
גרעין פואסון במישור
עריכה
גרעין פואסון הדו-ממדי על עיגול היחידה
D
=
{
z
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}
נתון על ידי מספר הגדרות שקולות:
P
r
(
θ
)
=
1
−
r
2
1
−
2
r
c
o
s
(
θ
)
+
r
2
=
∑
n
=
−
∞
∞
r
|
n
|
⋅
e
i
n
θ
=
R
e
(
1
+
r
e
i
θ
1
−
r
e
i
θ
)
=
1
−
r
2
|
1
−
r
e
i
θ
|
2
{\displaystyle P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{r^{|n|}\cdot e^{in\theta }}=Re({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}})={\frac {1-r^{2}}{|1-re^{i\theta }|^{2}}}}
כאשר
0
≤
r
<
1
,
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq r<1,0\leq \theta <2\pi }
.
לפונקציה מספר תכונות בסיסיות:
הפונקציה חיובית -
P
r
(
θ
)
>
0
{\displaystyle P_{r}(\theta )>0}
גרעין פואסון מונוטוני יורד בקטע
[
o
,
π
]
{\displaystyle [o,\pi ]}
.
לכל
0
≤
r
<
1
{\displaystyle 0\leq r<1}
מתקיים
1
2
π
∫
0
2
π
P
r
(
θ
)
d
θ
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{P_{r}(\theta )d\theta =1}}
.
מתקיים
lim
r
→
1
P
r
(
θ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{r\to 1}{P_{r}(\theta )}=0}
במידה שווה על כל קטע
[
a
,
π
]
{\displaystyle [a,\pi ]}
לכל
0
<
a
<
π
{\displaystyle 0<a<\pi }
.
המשוואה הבסיסית והחשובה עבור גרעין פואסון בפונקציות מרוכבות היא:
משפט - כל פונקציה אנליטית
f
:
D
→
C
{\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }
ורציפה ב-
∂
D
=
{
z
:
|
z
|
=
1
}
{\displaystyle \partial {D}=\{z:|z|=1\}}
מקיימת
∀
r
<
1
,
0
≤
t
<
2
π
:
f
(
r
e
i
t
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
P
r
(
t
−
θ
)
d
θ
{\displaystyle \forall r<1,0\leq t<2\pi :f(re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(e^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }}
כלומר, ערך הפונקציה בנקודה בתוך הדיסק נקבע על ידי ערכים על השפה , לפי קונבולוציה ביחס לגרעין פואסון.
כמסקנה ממשפט זה, מקבלים גרסה לפונקציות הרמוניות - אם
u
{\displaystyle u}
פונקציה הרמונית ב-
D
{\displaystyle D}
ורציפה ב-
∂
D
{\displaystyle \partial {D}}
, מקיימת:
u
(
r
e
i
t
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
u
(
e
i
θ
)
P
r
(
t
−
θ
)
d
θ
{\displaystyle u(re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{u(e^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }}
(כאשר
u
(
z
)
=
u
(
R
e
z
,
I
m
z
)
{\displaystyle u(z)=u(Rez,Imz)}
) נוסחה זו נקראת לרוב נוסחת פואסון .
בכיוון ההפוך, אם
f
{\displaystyle f}
פונקציה ממשית רציפה על
∂
D
{\displaystyle \partial D}
אז הפונקציה
u
{\displaystyle u}
כנ"ל הרמונית. יותר מכך, מקבלים את המשפט החזק הבא:
משפט - אם
f
{\displaystyle f}
פונקציה ממשית רציפה על
∂
D
{\displaystyle \partial D}
, אז ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית
u
{\displaystyle u}
על
D
{\displaystyle D}
(בעזרת נוסחה כנ"ל).
הפונקציה
u
{\displaystyle u}
המוגדרת לעיל נקראת אינטגרל פואסון של הפונקציה
f
{\displaystyle f}
.
באופן דומה לעיל, ניתן להגדיר את גרעין פואסון על כל כדור
B
(
a
,
R
)
=
{
z
:
|
z
−
a
|
=
R
}
{\displaystyle B(a,R)=\{z:|z-a|=R\}}
ע"י
∀
0
≤
θ
<
2
π
,
0
≤
r
<
1
:
P
r
(
θ
)
=
R
2
−
r
2
R
2
−
2
R
r
c
o
s
(
θ
)
+
r
2
{\displaystyle \forall 0\leq \theta <2\pi ,0\leq r<1:P_{r}(\theta )={\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rrcos(\theta )+r^{2}}}}
ואינטגרל פואסון של הפונקציה הוא
u
(
a
+
r
e
i
t
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
a
+
R
e
i
θ
)
P
r
(
t
−
θ
)
d
θ
{\displaystyle u(a+re^{it})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(a+Re^{i\theta })P_{r}(t-\theta )d\theta }}
נזכר שפונקציה
u
{\displaystyle u}
המוגדרת בקבוצה פתוחה
Ω
{\displaystyle \Omega }
מקיימת את תכונת הערך הממוצע , אם לכל
z
0
∈
Ω
{\displaystyle z_{0}\in \Omega }
קיימת סדרה
r
n
>
0
,
r
n
→
0
{\displaystyle r_{n}>0,r_{n}\to 0}
כך ש-
u
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
u
(
z
0
+
r
n
e
i
θ
)
d
θ
{\displaystyle u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{u(z_{0}+r_{n}e^{i\theta })d\theta }}
.
משפט - אם
u
{\displaystyle u}
מוגדרת בתחום פתוח, אז היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע אם ורק אם היא הרמונית בו.
היות שחצי המישור העליון
H
=
{
z
:
I
m
z
>
0
}
{\displaystyle H=\{z:Imz>0\}}
הוא מרחב פשוט קשר , אפשר, לפי משפט ההעתקה של רימן , למפות אותו קונפורמית לעיגול היחידה. דוגמה לפונקציה מפורשות כזו היא
z
−
i
z
+
i
{\displaystyle {\frac {z-i}{z+i}}}
. בפרט, גרעין פואסון עובר מ-
D
{\displaystyle D}
ל-
H
{\displaystyle H}
. הנוסחה המפורשות לגרעין היא:
P
y
(
x
)
=
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle P_{y}(x)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}
ואינטגרל פואסון שלה הוא:
u
(
x
+
y
i
)
=
1
π
∫
−
∞
∞
P
y
(
x
−
t
)
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle u(x+yi)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{P_{y}(x-t)f(t)dt}}
היות שההעתקה הקונפרומית מעבירה גם שפת הדיסק לשפת חצי המישור (שהיא הישר הממשי ), גם כאן מקבלים קונבולוציה בין ערכי הפונקציה על השפה לבין גרעין פואסון.
אם
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
(מרחב Lp ) פונקציה ממשית, אז
u
{\displaystyle u}
לעיל היא הרחבה של
f
{\displaystyle f}
כפונקציה המוגדרת רק על השפה (כלומר, פונקציה ממשית) לפונקציה הרמונית על
H
{\displaystyle H}
, כמו במקרה של עיגול היחידה.
כהכללה של המקרה הדו-ממדי, מגדירים את גרעין פואסון על כדור
B
(
0
,
r
)
=
{
x
∈
R
n
:
|
|
x
|
|
<
r
}
{\displaystyle B(0,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||<r\}}
:
P
r
(
x
,
ζ
)
=
r
2
−
|
|
x
|
|
2
r
ω
n
−
1
|
|
x
−
ζ
|
|
n
{\displaystyle P_{r}(x,\zeta )={\frac {r^{2}-||x||^{2}}{r\omega _{n-1}||x-\zeta ||^{n}}}}
כאשר
ζ
∈
S
n
−
1
=
{
x
∈
R
n
:
|
|
x
|
|
=
r
}
{\displaystyle \zeta \in S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||=r\}}
ו-
w
n
−
1
{\displaystyle w_{n-1}}
שטח המשטח
S
n
−
1
{\displaystyle S^{n-1}}
, הנתון מפורשות על ידי
2
π
n
2
Γ
(
n
2
)
{\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}
.
בדומה למקרה הדו-ממדי, בהינתן פונקציה
u
{\displaystyle u}
רציפה על
S
n
−
1
{\displaystyle S^{n-1}}
, ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית לתוך הכדור בעזרת אינטגרל פואסון:
P
[
u
]
(
x
)
=
∫
S
n
−
1
u
(
ζ
)
P
(
x
,
ζ
)
d
ζ
{\displaystyle P[u](x)=\int _{S^{n-1}}{u(\zeta )P(x,\zeta )}d\zeta }
ניתן גם להרחיב פונקציות מוגדרות על
R
n
−
1
≅
{
x
∈
R
n
:
x
1
=
0
}
⊆
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}\cong \{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{1}=0\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
אל חצי המרחב העליון
H
=
{
x
∈
R
n
:
x
1
>
0
}
{\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{1}>0\}}
, על ידי גרעין פואסון הכללי:
P
(
t
,
x
)
=
c
n
t
(
t
2
+
|
x
|
2
)
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{(t^{2}+|x|^{2})^{(n+1)/2}}}}
כאשר
c
n
=
Γ
[
(
n
+
1
)
/
2
]
π
(
n
+
1
)
/
2
.
{\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}
ואינטגרל פואסון:
P
(
t
,
x
)
=
∫
R
n
e
−
2
π
t
|
ξ
|
e
−
2
π
i
ξ
⋅
x
d
ξ
.
{\displaystyle P(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}
הקונבולוציה
P
[
u
]
(
t
,
x
)
=
[
P
(
t
,
⋅
)
∗
u
]
(
x
)
{\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}
היא פתרון למשוואת לפלס בחצי המישור העליון.