התמרת הילברט

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה $u(t)$ , ומייצר פונקציה $H{(u)(t)}$ , עם אותו התחום.

בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה מוסטת בפאזה של $90^{\circ }$ .

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבוא

באדום-התמרת הילברט של גל מרובע (בכחול)

התמרת הילברט של פונקציה $u(t)$ היא קונבולוציה של הפונקציה $u(t)$ עם הפונקציה $h(t)=1/(\pi t)$ .

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:

${\widehat {u}}(t)=H(u)(t)=\operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau$

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה $u$ , התוצאה היא $u$ שלילית:

H(H(u))(t)=-u(t)

מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:

H^{-1}=-H

במישור התדר, התמרת הילברט היא:

H(f)=-j\cdot sign(f)

, כאשר

sign(f)

היא פוקנציית הסימן.

מכאן ניתן לראות ש-

|H(f)|=1

, כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב-

-90^{\circ }

ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב-

90^{\circ }

.

לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:

{\widehat {U}}(f)=H(f)U(f)=-j\cdot sign(f)\cdot U(f)

, כאשר

U(f)

ו-

{\widehat {U}}(f)

הן ההתמרות פורייה של

u(t)

ו-

{\widehat {u}}(t)

בהתאמה.

סימון

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של $u(t)$ מסומנת ע"י: ${\widehat {u}}(t)$ . במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא ${\tilde {u}}(t)$ .

טבלת התמרות הילברט

האות $u(t)\,$	התמרת הילברט $H(u)(t)$
$\sin(t)$	$-\cos(t)$
$\cos(t)$	$\sin(t)\,$
$\exp \left(it\right)$	$-i\exp \left(it\right)$
$\exp \left(-it\right)$	$i\exp \left(-it\right)$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$
פונקציית Sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
פונקציית המלבן $\sqcap (t)$	${1 \over \pi }\log \left\|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\|$
פונקציית דלתא של דיראק $\delta (t)\,$	${1 \over \pi t}$

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התמרת הילברט בוויקישיתוף

התמרת הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)