התמרת הילברט

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה , ומייצר פונקציה , עם אותו התחום.

בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה מוסטת בפאזה של .

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבואעריכה

 
באדום-התמרת הילברט של גל מרובע (בכחול)

התמרת הילברט של פונקציה   היא קונבולוציה של הפונקציה   עם הפונקציה  .

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה: 

 

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה  , התוצאה היא   שלילית:

 
מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:  
במישור התדר, התמרת הילברט היא:  , כאשר   היא פוקנציית הסימן.
מכאן ניתן לראות ש- , כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב-  ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב- .
לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:  , כאשר   ו-  הן ההתמרות פורייה של   ו-  בהתאמה.

סימוןעריכה

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של   מסומנת ע"י:  . במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא  .

טבלת התמרות הילברטעריכה

האות
 
התמרת הילברט
 
   
   
   
   
   
   
פונקציית Sinc
 
 
פונקציית המלבן
 
 
פונקציית דלתא של דיראק
 
 

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא התמרת הילברט בוויקישיתוף