משתמש:MathKnight/הוכחת אי-רציונליות כללית

שאלה

האם זה נכון ומוכח, שהשורש הריבועי של כל מספר טבעי הוא או מספר טבעי או מספר אי רציונלי? אם כן, מה ההוכחה?

תשובה

אכן וההוכחה לכך פשוטה למדי והיא הכללה להוכחת אי הרציונליות של שורש 2: יהי n מספר טבעי. נניח כי קיימים $\ b$ ו-$\ a$ זרים (כי ניתן לצמצם את השבר עד שהם אכן יהיו זרים) כך ש- $\,\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=n$. המחלק משותף מקסימלי של $\ b$ ו-$\ a$ הוא 1 (כי הם זרים). לפי המשוואה: $\,a^{2}=nb^{2}$, לכן $\ b$ מחלק את $\ a^{2}$. אם $\ b>1$ הרי שלפי המשפט היסודי של האריתמטיקה קיים ראשוני $\ p$ כך שהוא מחלק את $\ b$, כלומר מחלק גם את $\ a^{2}$. לכן, מכיוון שהוא ראשוני הוא חייב לחלק גם את $\ a$. מכאן שהמחלק המשותף המקסימלי של $\ b$ ו-$\ a$ גדול מ-1 בסתירה לכך שהם זרים. לכן השורש במקרה זה אינו רציולני. נותר המקרה $\ b=1$, במקרה הזה השורש של $\ n$ הוא פשוט השלם $\ a$.

קרדיט

נכתב ע"י דניאל ב. 14:42, 20 במרץ 2010 (IST) בויקיפדיה:הכה את המומחה