בגאומטריה אוקלידית , נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
= ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cos ( α + γ ) ] . {\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.} כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר , אשר גילה אותה בשנת 1842 . נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה , שמתבססת על נוסחת הרון .
סרטוט להוכחה. נסמן באות K את שטח המרובע, אז:
K = area of △ A D B + area of △ B D C = a d sin α 2 + b c sin γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of }}\triangle ADB+{\text{area of }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}} מכאן
4 K 2 = ( a d ) 2 sin 2 α + ( b c ) 2 sin 2 γ + 2 a b c d sin α sin γ . {\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,} על פי משפט הקוסינוסים :
a 2 + d 2 − 2 a d cos α = b 2 + c 2 − 2 b c cos γ , {\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,} אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:
( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 cos 2 α + ( b c ) 2 cos 2 γ − 2 a b c d cos α cos γ . {\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,} עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:
4 K 2 + ( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 + ( b c ) 2 − 2 a b c d cos ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}} מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה , נקבל כי:
16 K 2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ) ( a − b + c + d ) ( − a + b + c + d ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).} נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:
s = a + b + c + d 2 , {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},} ונקבל כי
16 K 2 = 16 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle 16K^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.
קישורים חיצוניים
עריכה