יהיו
U
{\displaystyle U}
ו-
W
{\displaystyle W}
תת-מרחבים של
V
{\displaystyle V}
, שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית .
נניח כי
dim
(
U
∩
W
)
≠
{
0
}
{\displaystyle \dim(U\cap W)\neq \{0\}}
וניקח בסיס לחיתוך
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}}
(ההוכחה עובדת גם עבור
dim
(
U
∩
W
)
=
{
0
}
{\displaystyle \dim(U\cap W)=\{0\}}
)
נשלים אותו בשתי דרכים:
לבסיס של
U
{\displaystyle U}
:
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
,
u
1
,
.
.
.
,
u
l
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}}
לבסיס של
W
{\displaystyle W}
:
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
,
w
1
,
.
.
.
,
w
m
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},w_{1},...,w_{m}\}}
כעת נשאר להוכיח:
dim
(
U
+
W
)
=
k
+
l
+
k
+
m
−
k
=
k
+
l
+
m
{\displaystyle \dim(U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m}
, ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה
{
v
1
,
.
.
.
,
v
k
,
u
1
,
.
.
.
,
u
l
,
w
1
,
.
.
.
,
w
m
}
{\displaystyle \{v_{1},...,v_{k},u_{1},...,u_{l},w_{1},...,w_{m}\}}
היא בסיס ל-
U
+
W
{\displaystyle U+W}
. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):
פרישה
יהי
v
∈
U
+
W
{\displaystyle v\in U+W}
, קיימים
u
0
∈
U
{\displaystyle u_{0}\in U}
ו-
w
0
∈
W
{\displaystyle w_{0}\in W}
כך ש
v
=
u
0
+
w
0
{\displaystyle v=u_{0}+w_{0}}
הקבוצה
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
,
u
1
,
.
.
.
,
u
l
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}}
היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים
α
1
,
.
.
.
,
α
k
,
β
1
,
.
.
.
,
β
l
{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l}}
כך שמתקיים
u
0
=
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
+
∑
i
=
1
l
β
i
u
i
{\displaystyle u_{0}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}}
באופן דומה, עבור W,
w
0
=
∑
i
=
1
k
γ
i
v
i
+
∑
i
=
1
m
δ
i
w
i
{\displaystyle w_{0}=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}}
מכאן שמתקיים
,
u
0
+
w
0
=
∑
i
=
1
k
(
α
i
+
γ
i
)
v
i
+
∑
i
=
1
l
β
i
u
i
+
∑
i
=
1
m
δ
i
w
i
{\displaystyle ,u_{0}+w_{0}=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}}
ולכן הקבוצה פורשת.
תלות ליניארית
יהיו
α
1
,
.
.
.
,
α
k
,
β
1
,
.
.
.
,
β
l
,
γ
1
,
.
.
.
,
γ
m
{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l},\gamma _{1},...,\gamma _{m}}
סקלרים כך ש:
.
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
+
∑
i
=
1
l
β
i
u
i
+
∑
i
=
1
m
γ
i
w
i
=
0
{\displaystyle .\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0}
כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים , מתקבל השוויון:
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
+
∑
i
=
1
l
β
i
u
i
=
−
∑
i
=
1
m
γ
i
w
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}}
קיבלנו וקטור ב
U
∩
W
{\displaystyle U\cap W}
(כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב-
W
{\displaystyle W}
ובאגף שמאל וקטור ב-
U
{\displaystyle U}
). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}}
שהוא בסיס ל-
U
∩
W
{\displaystyle U\cap W}
.
קיימים
δ
1
,
.
.
.
,
δ
k
{\displaystyle \delta _{1},...,\delta _{k}}
כך שמתקיים:
∑
i
=
1
k
δ
i
v
i
=
−
∑
i
=
1
m
γ
i
w
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}}
∑
i
=
1
k
δ
i
v
i
+
∑
i
=
1
m
γ
i
w
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0}
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי
W
{\displaystyle W}
ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור
γ
i
=
0
,
1
≤
i
≤
m
{\displaystyle \gamma _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq m}
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
+
∑
i
=
1
l
β
i
u
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=0}
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי
U
{\displaystyle U}
ולכן הקבוצה בת"ל.
לכן בפרט,
β
i
=
0
,
1
≤
i
≤
l
{\displaystyle \beta _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq l}
α
i
=
0
,
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle \alpha _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq k}
מש"ל ■