משפט הממדים

אין לבלבל ערך זה, העוסק בקשר בין ממדים של מרחבים וקטוריים שונים, עם הערך "משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות", העוסק בקשר בין ממד גרעין ותמונת העתקה ליניארית לתחום ההעתקה הליניארית.

מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית:

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)

.

הוכחה עריכה

יהיו $U$ ו- $W$ תת-מרחבים של $V$ , שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

נניח כי $\dim(U\cap W)\neq \{0\}$ וניקח בסיס לחיתוך $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}$ (ההוכחה עובדת גם עבור $\dim(U\cap W)=\{0\}$ )

נשלים אותו בשתי דרכים:

לבסיס של $U$ : $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}$
לבסיס של $W$ : $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},w_{1},...,w_{m}\}$

כעת נשאר להוכיח: $\dim(U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m$ , ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה $\{v_{1},...,v_{k},u_{1},...,u_{l},w_{1},...,w_{m}\}$ היא בסיס ל- $U+W$ . ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):

פרישה

יהי $v\in U+W$ , קיימים $u_{0}\in U$ ו- $w_{0}\in W$ כך ש $v=u_{0}+w_{0}$ הקבוצה $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}$ היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים $\alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l}$ כך שמתקיים

u_{0}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}

באופן דומה, עבור W,

w_{0}=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}

מכאן שמתקיים

,u_{0}+w_{0}=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}

ולכן הקבוצה פורשת.

תלות ליניארית

יהיו $\alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l},\gamma _{1},...,\gamma _{m}$ סקלרים כך ש:

.\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0

כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:

\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}

קיבלנו וקטור ב $U\cap W$ (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב- $W$ ובאגף שמאל וקטור ב- $U$ ). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}$ שהוא בסיס ל- $U\cap W$ .