מרחב וקטורי
באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה, וקטורים, סגורים לחיבור ולכפל בסקלר. וקטור מסומן באחת מהאפשרויות הבאות: .
בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.
הגדרהעריכה
חבורה אבלית ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה , אם מוגדרת פעולת כפל בסקלר , שמסמנים ב- , כך שמתקיימות האקסיומות
- הוא איבר נייטרלי:
- קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ):
- פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים):
- פילוגיות וקטורים:
דרישת החילופיות של החיבור ב- נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי , פעם אחת לפי קיבוציות של סקלרים, ופעם שנייה לפי קיבוציות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.
דוגמאותעריכה
- אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
- המרחב של -יות המורכבות מאיברים בשדה כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: ו- . האיבר הנייטרלי לחיבור הוא .
- המרחב של -יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
- המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
- מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
- מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
- מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
- אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.
מונחיםעריכה
- תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.
- פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
- בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
תת-מרחב וקטוריעריכה
תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה של המרחב הווקטורי מעל השדה מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:
- אינה ריקה (מספיק לדעת ש- ).
- סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל מתקיים .
- סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל ו- מתקיים .
יריעת גרסמן מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של .
ראו גםעריכה
קישורים חיצונייםעריכה
- הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה ליניארית שניתן ב-MIT
- סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת ממדי (ומושגים נוספים באלגברה ליניארית)
- AbstractVectorSpace.html מרחב וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)
- מרחב וקטורי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)