מרחב וקטורי

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה, וקטורים, סגורים לחיבור ולכפל בסקלר. וקטור מסומן באחת מהאפשרויות הבאות: ${\underline {u}}\ ,\ {\overline {u}}\ ,\ {\vec {u}}\ ,\ \mathbf {u}$.

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה

חבורה אבלית $\ V$ ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה $\ \mathbb {F}$, אם מוגדרת פעולת כפל בסקלר $\ \mathbb {F} \times V\rightarrow V$, שמסמנים ב-$\ (\alpha ,v)\mapsto \alpha \cdot v$, כך שמתקיימות האקסיומות

1. $1$ הוא איבר נייטרלי: $\forall v\in V,1\cdot v=v$
2. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall v\in V,(\alpha \cdot \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)$
3. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall v\in V,(\alpha +\beta )\cdot v=\alpha \cdot v+\beta \cdot v$
4. פילוגיות וקטורים: $\forall \alpha \in \mathbb {F} ,\forall v,u\in V,\alpha \cdot (v+u)=\alpha \cdot v+\alpha \cdot u$

דרישת החילופיות של החיבור ב-$V$ נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי $(1+1)(u+v)$, פעם אחת לפי קיבוציות של סקלרים, ופעם שנייה לפי קיבוציות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

דוגמאות

• אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
• המרחב $\mathbb {F} ^{n}$ של $n$-יות המורכבות מאיברים בשדה $\ \mathbb {F}$ כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: $(x_{1},...,x_{n})+(y_{1},...,y_{n})=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})$ ו-$c\cdot (x_{1},...,x_{n})=(cx_{1},...,cx_{n})$. האיבר הנייטרלי לחיבור הוא ${\vec {0}}=(0,...,0)$.
  • המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ של $n$-יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
  • המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
  • מרחב הפולינומים מעל שדה $F$. תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה $X$ כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {Z} _{2}$, כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

מונחים

• תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.

• פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.

• בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.

• ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטורי

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה $\ W$ של המרחב הווקטורי $\ V$ מעל השדה $\mathbb {F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. $\ W$ אינה ריקה (מספיק לדעת ש-$\ 0\in W$).
2. $\ W$ סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל $\ v,u\in W$ מתקיים $\ v+u\in W$.
3. $\ W$ סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל $\ v\in W$ ו-$\lambda \in \mathbb {F}$ מתקיים $\lambda \cdot v\in W$.

יריעת גרסמן מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של $V$.

ראו גם

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• מרחב נורמי
• מרחב מכפלה פנימית
• אגד וקטורי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה ליניארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת ממדי (ומושגים נוספים באלגברה ליניארית)
• AbstractVectorSpace.html מרחב וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב וקטורי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)