פתיחת התפריט הראשי

משפט דה מואבר

משפט מתמטי
(הופנה מהדף נוסחת דה-מואבר)

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים

כאשר מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב , ו- את הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן פרקטי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, באינדוקציה, מן הזהות , השקולה לזהויות הטריגונומטריות ו-.

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים ו- כפולינומים ב- ו-, בהתאמה. כך למשל, - ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .

הוצאת שורש מרוכבעריכה

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה  , כאשר   ו-  .

המספר   (עם  ), הוא שורש מסדר n של z אם  , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,  . זה קורה בדיוק כאשר :

 

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור  (רדיאנים):

 

כאשר  , ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה