משפט דה-מואבר , הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר , קובע שלכל מספר ממשי
x
{\displaystyle x}
מספר שלם
n
{\displaystyle n}
אברהם דה-מואבר
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle {\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}
כאשר
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
במספר המרוכב
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}
i
sin
(
x
)
{\displaystyle i\sin(x)}
חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
sin
(
n
x
)
{\displaystyle \sin(nx)}
פולינומים ב-
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
5
x
)
=
16
cos
(
x
)
5
−
20
cos
(
x
)
3
+
5
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(5x)=16\cos(x)^{5}-20\cos(x)^{3}+5\cos(x)}
פולינומי צ'בישב .
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה . מן הזהות
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
[
cos
(
y
)
+
i
sin
(
y
)
]
=
cos
(
x
+
y
)
+
i
sin
(
x
+
y
)
{\displaystyle \ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)]=\cos(x+y)+i\sin(x+y)}
זהויות הטריגונומטריות
cos
(
x
)
cos
(
y
)
−
sin
(
x
)
sin
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
{\displaystyle \ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)}
cos
(
x
)
sin
(
y
)
+
sin
(
x
)
cos
(
y
)
=
sin
(
x
+
y
)
{\displaystyle \ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)}
אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון , בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676 . ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי
(
e
i
x
)
n
=
e
i
(
n
x
)
{\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{i(nx)}}
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם
z
{\displaystyle z}
z
=
A
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle z=A(\cos x+i\sin x)\,}
0
<
A
{\displaystyle \ 0<A}
0
≤
x
<
2
π
{\displaystyle \ 0\leq x<2\pi }
המספר
ω
=
B
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle \ \omega =B(\cos y+i\sin y)}
0
<
B
{\displaystyle \ 0<B}
ω
n
=
z
{\displaystyle \ \omega ^{n}=z}
B
n
⋅
(
cos
n
y
+
i
sin
n
y
)
=
A
⋅
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle \ B^{n}\cdot (\cos ny+i\sin ny)=A\cdot (\cos x+i\sin x)}
B
n
=
A
cos
n
y
+
i
sin
n
y
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \ \ B^{n}=A\,\ \cos ny+i\sin ny=\cos x+i\sin x}
כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור
2
π
{\displaystyle \ 2\pi }
רדיאנים ):
ω
=
z
n
=
A
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
A
n
{
cos
(
x
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
x
+
2
k
π
n
)
}
{\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{A(\cos x+i\sin x)}}={\sqrt[{n}]{A}}\left\{\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right\}}
כאשר
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle \ k=0,1,\dots ,n-1}
![{\displaystyle \ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)]=\cos(x+y)+i\sin(x+y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b730762373e430b8ff7b25a047cf1e633f45b25d)
![{\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{A(\cos x+i\sin x)}}={\sqrt[{n}]{A}}\left\{\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a25fdf341747082811c93eee047d8f75dc7d47)
