פתיחת התפריט הראשי

איבר נילפוטנטי

(הופנה מהדף נילפוטנטיות)

באלגברה מופשטת, איבר של חוג R הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם עבור m גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות של x.

חוג (בלי יחידה) שכל אבריו נילפוטנטיים נקרא חוג נילפוטנטי. כל אלגברה נילפוטנטית מממד סופי ניתנת לשיכון באלגברת המטריצות המשולשיות מעל השדה.

דוגמאותעריכה

  • בחוג   של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי  .
  • המטריצה הריבועית   היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים  .
  • בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם   נילפוטנטי, אז גם   כזה, משום ש-  . לדוגמה, אם   ו-  , כאשר   הן יחידות מטריצות, אז   ו-   נילפוטנטי מסדר 2.

אם x נילפוטנטי, אז   איבר הפיך:  ; זהו איבר מוגדר היטב משום שהסכום סופי. בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי A הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידיאל ראשוני.

ראו גםעריכה