נקודת שבת
במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם היא פונקציה אז הנקודה היא נקודת שבת אם מתקיים .
דוגמאות
עריכה- עבור הפונקציה , הערך , הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- (וזהו הפתרון היחיד למשוואה ).
- נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
- נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של הקרוב מספיק לנקודת השבת , מתקיים (כאן וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.
משפטים הקשורים בנקודות שבת
עריכה- אם פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע .
- משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי . אם קיים קבוע כך ש- לכל , אזי יש ל- נקודת שבת אחת ויחידה.
- הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
- הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב- הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
- משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי [1], שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר [2] משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
- אם פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו- נקודת שבת של , אז היא גם נקודת שבת של .
- אם נקודת שבת של ושל , אז היא גם נקודת שבת של .
קישורים חיצוניים
עריכההערות שוליים
עריכה- ^ Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications, .Pacific J. Math 5, 1955, עמ' 285--309
- ^ B. Knaster, Un théorème sur les fonctions d’ensembles, .Ann. Soc. Polon. Math 6, 1928, עמ' 134--133