נקודת שבת

במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם היא פונקציה אז הנקודה היא נקודת שבת אם מתקיים .

דוגמאותעריכה

 
פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר  )
  • עבור הפונקציה  , הערך  , הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו-   (וזהו הפתרון היחיד למשוואה  ).
  • נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
  • נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של   הקרוב מספיק לנקודת השבת  , מתקיים   (כאן   וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

משפטים הקשורים בנקודות שבתעריכה

  • אם   פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע  .
  • משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי  . אם קיים קבוע   כך ש-  לכל  , אזי יש ל-  נקודת שבת אחת ויחידה.
  • הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
  • הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-  הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
  • אם   פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-  נקודת שבת של  , אז היא גם נקודת שבת של  .
  • אם   נקודת שבת של   ושל  , אז היא גם נקודת שבת של  .

קישורים חיצונייםעריכה

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.