במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם היא פונקציה אז הנקודה היא נקודת שבת אם מתקיים .

דוגמאות

עריכה
 
פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר  )
  • עבור הפונקציה  , הערך  , הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו-   (וזהו הפתרון היחיד למשוואה  ).
  • נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
  • נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של   הקרוב מספיק לנקודת השבת  , מתקיים   (כאן   וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

משפטים הקשורים בנקודות שבת

עריכה
  • אם   פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע  .
  • משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי  . אם קיים קבוע   כך ש-  לכל  , אזי יש ל-  נקודת שבת אחת ויחידה.
  • הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
  • הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-  הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
  • משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי [1], שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר [2] משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
  • אם   פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-  נקודת שבת של  , אז היא גם נקודת שבת של  .
  • אם   נקודת שבת של   ושל  , אז היא גם נקודת שבת של  .

קישורים חיצוניים

עריכה
  • נקודת שבת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications, .Pacific J. Math 5, 1955, עמ' 285--309
  2. ^ B. Knaster, Un théorème sur les fonctions d’ensembles, .Ann. Soc. Polon. Math 6, 1928, עמ' 134--133
  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.