התפלגות פרמי-דיראק
התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/FD_e_mu.jpg/250px-FD_e_mu.jpg)
הגדרה
עריכהבאופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:
- הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת חלקיק במצב).
- היא האנרגיה של מצב זה.
- הוא הפוטנציאל הכימי.
- היא הטמפרטורה.
- הוא קבוע בולצמן.
בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים , ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:
פיתוח
עריכהאת התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם חלקיקים ואנרגיה כוללת נתונה על ידי , כאשר היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.
ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת . אם אין אינטראקציה בין החלקיקים כאשר הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק . פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה . מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב , או על ידי כאשר .
תכונות ההתפלגות
עריכה- מתקיים . דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.
- בגבול של טמפרטורה נמוכה ( ) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת ונקראת אנרגיית פרמי.
קישורים חיצוניים
עריכה- התפלגות פרמי-דיראק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)