פונקציה אלגברית

במתמטיקה, פונקציה אלגברית היא פונקציה שניתן להגדיר כשורש של משוואה פולינומית. לעיתים קרובות למדי פונקציות אלגבריות הן ביטויים אלגבריים המשתמשים במספר סופי של מונחים, הכוללים רק את הפעולות האלגבריות חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה לחזקת שבר. דוגמאות לפונקציות כאלה הן:

• $f(x)=1/x$
• $f(x)={\sqrt {x}}$
• $f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

עם זאת, לא ניתן לבטא כמה פונקציות אלגבריות על ידי ביטויים סופיים כאלה (זהו משפט אבל-רופיני). זה המקרה, למשל, עבור רדיקל ברינג, שהוא הפונקציה המוגדרת במרומז על ידי

$f(x)^{5}+f(x)+x=0$.

במונחים מדויקים יותר, פונקציה אלגברית של תואר n במשתנה אחד x היא פונקציה $y=f(x),$ שהיא רציפה בתחום שלה ומקיימת פולינום משוואה

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$ כאשר המקדמים a_i(x) הם פונקציות פולינומיות של x, עם מקדמים שלמים. ניתן להראות שאותה מחלקה של פונקציות מתקבלת אם מקבלים מספרים אלגבריים עבור המקדמים של ה-a_i(x). אם מספרים טרנסצנדנטליים מתרחשים במקדמים, הפונקציה היא, באופן כללי, לא אלגברית, אבל היא אלגברית על פני השדה שנוצר על ידי מקדמים אלה.

הערך של פונקציה אלגברית במספר רציונלי, ובאופן כללי יותר, במספר אלגברי הוא תמיד מספר אלגברי. לפעמים, נחשבים מקדמים a_i(x) שהם פולינום מעל טבעת R, ואז מדברים על "פונקציות אלגבריות מעל R".

פונקציה שאינה אלגברית נקראת פונקציה טרנסנדנטלית, כפי שהיא למשל המקרה של $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$. הרכב של פונקציות טרנסצנדנטליות יכול לתת פונקציה אלגברית: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$.

מכיוון שלמשוואה פולינומית בדרגה n יש עד n שורשים (ובדיוק n שורשים מעל שדה סגור אלגברית, כמו המספרים המרוכבים), משוואת פולינום אינה מגדירה באופן מרומז פונקציה בודדת, אלא עד n פונקציות, הנקראות לפעמים גם ענפים. קחו למשל את המשוואה של מעגל היחידה: $y^{2}+x^{2}=1.\,$, זה קובע את y, אלא רק עד סימן כולל; בהתאם, יש לו שני ענפים: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$. פונקציה אלגברית ב-m משתנים מוגדרת באופן דומה כפונקציה $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ אשר פותר משוואה פולינומית בm + 1 משתנים :

$p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.$

בדרך כלל ההנחה היא ש-p צריך להיות פולינום בלתי ניתן לצמצום. קיומה של פונקציה אלגברית מובטח אז על ידי משפט הפונקציות המרומזות.

באופן פורמלי, פונקציה אלגברית ב-m משתנים מעל השדה K היא מרכיב של הסגירה האלגברית של שדה הפונקציות הרציונליות K(x1, ..., xm).

לקריאה נוספת

• בן ציון קון וסמי זעפרני, חדו"א 1, הוצאת בק ספרי לימוד,

קישורים חיצוניים

• פונקציות אלגבראיות, דף שער בספרייה הלאומית