סימון סלאש של פיינמן

כאשר ריצ'רד פיינמן חקר את משואת דיראק הוא המציא את סימון סלאש של פיינמן הנוח והקצר יותר לרישום גדלים המערבים מטריצות גאמה של דיראק.

אם A הוא 4-וקטור קו-וריאנטי, אזי הסלאש שלו מוגדר להיות

$A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }$

כאשר משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין ו-γ הן מטריצות גאמה של דיראק.

זהויות

על ידי שימוש בתכונות האנטי-קומוטטור של מטריצות הגאמה של דיראק ניתן להראות שעבור זוג 4-וקטורים קו-וריאנטים כליים $a_{\mu }$ ו-$b_{\mu }$, מתקיים

$a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}$

$a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b$.

בפרט

$\partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}$

ניתן להסיק זהויות נוספות המערבות את סימון הסלאש מתכונות מטריצות גאמה של דיראק על ידי החלפת הטנזור המטרי במכפלה פנימית, לדוגמה:

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b$

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$

$\operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/$.

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,$

כאשר

$\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }\,$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה.

עם 4-תנע

לעיתים קרובת, כאשר משתמשים במשוואת דיראק ופותרים כדי לחשב חתכי פעולה, ניתן למצוא את סימון הסלאש על וקטור 4-תנע:

בהצגת דיראק

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,$

ומהגדרת ה-4-תנע

$p^{\mu }=\left(E,p^{x},p^{y},p^{z}\right)\,$

רואים במפורש

$p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,$	$=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\,$
	$={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}\cdot p_{i}&0\end{bmatrix}}\,$
	$={\begin{bmatrix}E&\mathbf {\sigma \cdot p} \\-\mathbf {\sigma \cdot p} &-E\end{bmatrix}}\,$

הביטוי p עם סימון סלאש של פיינמן מופיע בפרופוגטור פיינמן של פרמיון:

$\ S_{f}={\frac {i}{p\!\!\!/-m}}={\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}$

ראו גם

• מטריצות גאמה של דיראק
• משוואת דיראק

לקריאה נוספת

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)