סימן לוי-צ'יוויטה

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָהאנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים.

ייצוג וויזואלי של הטנזור

הגדרה

עריכה

סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים   באופן הבא:

 

תכונות והכללה

עריכה

סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה  : הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם  ):

  • הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של  .
  • הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של  .
  • הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים.

זהויות

עריכה

עבור  , סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:

  •  
  •  

ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים

  •  

שימושים

עריכה

באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:

 

ביתר פשטות, אם  , אז

 

או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

 

באופן דומה, אם מסמנים  , אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:

 

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה