רוטור (מתמטיקה)

רוטור (Rotor) או קרל (Curl) הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת (לא לפי שינוי בזמן אלא לפי כיוון וגודל הווקטורים). הרוטור של שדה וקטורי הוא בעצמו שדה וקטורי. הרוטור משמש רבות בתחומים הקשורים לתנועת זורמים, כגון הידרודינמיקה, אווירודינמיקה ומטאורולוגיה (שם לרוב ניתן לפגוש בו בהגדרת הערבוליות), וגם בתחום האלקטרודינמיקה כאשר מתארים את הקשר בין שדות מגנטיים, שדות חשמליים וזרמים.

הגדרה

במערכת צירים קרטזית, הרוטור של שדה וקטורי ${\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})$ מוגדר להיות

\!\,\operatorname {curl} \ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}

.

כדי לזכור זאת ביתר קלות, נהוג לסמן את הרוטור כ- ${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}$ , משום שעל ידי הצבה של הווקטור ${\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})$ בנוסחת המכפלה הווקטורית מתקבלת אותה שקולה אך פשוטה יותר לשחזור:

$curl\ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\[5pt]{\displaystyle \partial \over \displaystyle \partial x}&{\displaystyle \partial \over \displaystyle \partial y}&{\displaystyle \partial \over \displaystyle \partial z}\\[5pt]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$

משמעות אינטואיטיבית

נדמיין את השדה הווקטורי כמתאר מהירות של מים בכל נקודה בנהר ונקשור לנקודה מסוימת בנהר כדור קטן. אם הזרימה בנהר אחידה, לא יקרה כלום לכדור (הוא ירצה לרדת במורד הזרם אך הוא קשור לנקודה). לעומת זאת, אם מהירות המים עולה ככל שמתרחקים מהגדה, הכדור יתחיל להסתובב. זאת משום שהמים בחלק של הכדור שקרובים יותר לגדה דוחפים את הכדור לאט יותר מהמים בחלק השני של הכדור, ולכן ייווצר כוח שיתחיל לסובב את הכדור. כיוון הרוטור יהיה ציר הסיבוב (בהתאם לחוק יד ימין), והמהירות הזוויתית של הכדור תהיה ליניארית בגודלו.

זרימה בנהר כמתואר בדוגמה. ניתן לראות שלושה כדורים קשורים לנקודות שונות במורד הזרם: הכדור הראשון לא מסתובב, הכדור השני מסתובב נגד כיוון השעון והכדור השלישי עם כיוון השעון

כדוגמה, עבור נהר שזורם בכיוון ${\hat {x}}$ ותחום בין גדה אחת בישר $y=0$ וגדה שנייה בישר $y=2$ ניקח את שדה הזרימה בנהר להיות

${\vec {v}}=1-(y-1)^{2}{\hat {x}}$

נשים לב ששדה זה מתאפס בגדות הנהר והולך ומתחזק ככל שמתקרבים למרכז. נחשב את הרוטור של השדה: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}=2(y-1){\hat {z}}$ עבור הנקודה $y=1$ שבמרכז הנהר, ונקבל שהרוטור מתאפס. זאת משום שנקודה במרכז הנהר מרגישה אותם כוחות משני צידיה ולכן לא מסתובבת לאף כיוון.

בשאר הנקודות נקבל שהרוטור מצביע בכיוון ${\hat {z}}$ זאת משום שציר הסיבוב יהיה מאונך לקרקעית הנהר במקרה זה. אם היינו מסתכלים על אבן טבועה בנהר עם שדה זרימה שונה, היא הייתה עלולה להסתובב עם צירי סיבוב שונים.

בדוגמה שלנו נראה שעבור נקודות שקרובות לקצה העליון של הנהר ( $y>1$ ) נקבל שהרוטור מצביע בכיוון z החיובי, משום שהמים במרכז הנהר החזקים מסובבים יותר חזק מהמים קרוב לגדה, ולכן הכדור יסתובב נגד כיוון השעון. עבור נקודות שקרובות לקצה התחתון של הנהר, המצב הוא הפוך ולכן נקבל סיבוב עם כיוון השעון, דבר שמתאים לרוטור שמצביע בכיוון $-{\hat {z}}$ .

בנוסף, קרוב למרכז הנהר השינויים במהירות המים לא גדולים כמו השינויים במהירות קרוב לקצה, ולכן מהירות הסיבוב של הכדור תגדל ככל שמתקרבים לקצה. דבר זה בא לידי ביטוי בכך שהגודל של הרוטור, $2(y-1)$ גדל ככל שקרבים לקצה.

רוטור במערכות קואורדינטות נוספות

בקואורדינטות גליליות הרוטור הוא:

\!\,curl\ {\vec {F}}=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right){\hat {\rho }}+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\varphi }}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial (\rho F_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {z}}

.

בקואורדינטות כדוריות הרוטור הוא:

\!\,curl\ {\vec {F}}={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(F_{\varphi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\varphi }\right)\right){\hat {\theta }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\theta }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}

.

דוגמאות לשימוש ברוטור

במכניקה, כוח ${\vec {F}}(x,y,z)$ הוא שדה וקטורי משמר אם ורק אם הרוטור שלו הוא ${\vec {0}}=(0,0,0)$ .
אחד השימושים הנפוצים ביותר הוא במשוואות מקסוול הבאות: