סימן לז'נדר

סימן לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר) הוא מושג בתורת המספרים. מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי וסימן קרונקר הם הרחבות של סימן לז'נדר.

הגדרה

יהי $p$ מספר ראשוני אי־זוגי ויהי $a$ מספר שלם. סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&:a\equiv 0{\pmod {p}}&\\1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{cases}}

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחה המפורשת:

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\!\!\!{\pmod {p}}\quad :\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}

יהיו $p,q$ ראשוניים אי־זוגיים ו־ $a,b$ שלמים, אזי:

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\!\left({\frac {b}{p}}\right)$
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&:p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&:p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$
$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1&:p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}$
$\left({\frac {3}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {12}}\\-1&:p\equiv \pm 5{\pmod {12}}\end{cases}}$
$\left({\frac {5}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&:p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$
$\left({\frac {p}{q}}\right)\!\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}$ (משפט ההדדיות הריבועית)