פולינום אופייני

באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $A$ היא מטריצה ריבועית מסדר $n$, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $p_{A}(\lambda )=\left|\lambda I-A\right|$, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה ו- $|\cdot |$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום מתוקן שמעלתו שווה למספר הרכיבים שבמטריצה (הסדר שלה שסומן ב-$n$), ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+t_{n-1}\lambda ^{n-1}+t_{n-2}\lambda ^{n-2}+\dots +t_{0}$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $t_{0}=(-1)^{n}|A|$, ואילו $t_{n-1}$ שווה למינוס העקבה של $A$. בפרט הפולינום האופייני של מטריצה 2x2 הוא מהצורה $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\cdot \lambda +\det(A)$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

השורשים של הפולינום האופייני הם הערכים העצמיים של $A$.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו $A$ מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $p_{A}(A)=A^{n}+t_{n-1}A^{n-1}+\dots +t_{0}I=0$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן

קישורים חיצוניים

• פולינום אופייני, באתר MathWorld (באנגלית)