פונקציה יוצרת מומנטים

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לקרוא את המומנטים של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה אקראי X היא פונקציה על משתנה ממשי המוגדרת כתוחלת , כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת .

אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה n פעמים בקטע הכולל את הנקודה , אז המומנט ה-n-י של המשתנה הוא הנגזרת ה-n-ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר . לדוגמה, , ו- . אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של 0, אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: .

כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.

בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-).

הסבר לעריכה

  זה הוא מעגל היחידה, שמרחק כל אחד מקצותיו ממרכז המעגל הוא 1.

אם נכפיל את המעריך ב-   נקבל את הפונקציה  , מלופפת סביב מעגל, כאשר כל נקודה על ה"מעגל" החדש - מרחקה ממרכז המעגל היא כמרחק אותה הנקודה, כלומר באותו הזמן   מציר הזמן בגרף המקורי. כלומר, מרחקה היא כגובה (או - ערך) אותה הנקודה באותו הזמן על הגרף המקורי.

באופן דומה ובאותה שיטה יוצרים את הפונקציה יוצרת המומנטים ומבטאים אותה כתלות ב  .

דוגמאותעריכה

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי Z היא  .

למשתנה מקרי X בעל התפלגות אקספוננציאלית שהתוחלת שלה   יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת עבור  , שהיא  . הנגזרת ה-n-ית היא  , והצבת   נותנת  .

קשרים בין משתניםעריכה

אם   מספרים ממשיים ו-   משתנה מקרי, אז  . אם   משתנים בלתי תלויים ו-   הסכום, אז  . אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז  , הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של משפט הגבול המרכזי.