התפלגות ברנולי

(הופנה מהדף משתנה מקרי ברנולי)

התפלגות ברנולי היא מונח מתחומי סטטיסטיקה ותורת ההסתברות, הקרוי על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, המתאר התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו- . מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים - הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- .

למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על בקובייה תקינה היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .

את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).

תכונותעריכה

אם   הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

 

פונקציית הסתברות   של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

 

צורה שקולה לביטוי זה היא:

 

או:

 

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור  

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של  . עבור ערכי   ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ומדד הנראות המרבית של   עבור דגימה אקראית הוא ממוצע הדגימה.

תוחלתעריכה

התוחלת של משתנה מקרי   המתפלג ברנולי היא:

 

זאת משום שעבור  בו   יחד עם   יוצא:

 

שונותעריכה

השונות של משתנה מקרי   המתפלג ברנולי היא:

 

ראשית נמצא את  :

 

ומכאן:

 

קישורים חיצונייםעריכה