הוכיחו שקיים מספר שמתחלק ב-
וכל ספרותיו אי-זוגיות.
| פתרון
|
| ראשית נשים לב שספרת האחדות של היא 5. נבנה מספר המקיים את הדרישה באופן הבא:
ראשית ניקח את . נסתכל על ספרת העשרות שלו. האם היא זוגית או אי-זוגית? במקרה זה ניתן לראות שהיא 2, כלומר זוגית, ועל כן נוסיף  ונקבל ספרת עשרות אי-זוגית. נעבור לספרת המאות. אם היא אי-זוגית, נתעלם, אך אם היא זוגית בשלב זה, נוסיף את  ונקבל ספרת מאות אי-זוגית. וכך ניתן להמשיך על כל ספרה (לא לעשות כלום אם היא אי-זוגית, ולהוסיף  אם היא זוגית, כאשר n הוא מספרה הסידורי) ולאחר 100 פעמים נקבל מספר עם 100 ספרות אחרונות אי-זוגיות. (תשומת לב שהמספר שהתקבל עדיין מתחלק ב-, כי הוספו רק כפולות שלו). כעת נזכיר את סימן ההתחלקות של  : מספר מתחלק ב- אם ורק אם n הספרות האחרונות שלו מתחלקות ב-. בפרט, מהמספר שבנינו ניתן לקחת את 100 הספרות האחרונות ולקבל מספר שמתחלק ב- וכל ספרותיו אי-זוגיות, כמבוקש.
|
|
