פורטל:מתמטיקה

Gnome-colors-view-refresh.svg רענון הפורטל Netvibes.svg כיצד אוכל לעזור?    

P mathematics.svg

המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

פלימפטון 322

פלימפטון 322 הוא שמו של לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הלוח, הכתוב בכתב יתדות, מכיל ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. מהות המספרים שבו שנויה במחלוקת – על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית.

הלוח התגלה בעת חפירות ארכאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בשנות העשרים של המאה ה-20. ג.א. פלימפטון קנה את הלוח, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובשנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה, שם הוא שמור עד עצם היום הזה.

Butterfly trans01.png

"עקומת פרפר טרנסצנדנטלית" היא עקום המתואר על ידי הפרמטריזציה


או על ידי המשוואה הקוטבית .

סטטיסטיקה אינה חלופה לשיקול דעת

Benq joybook transparent.png

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: NSA's Puzzle Periodical (באנגלית)

ה-CIA הוא אחד מהשירותים החשאיים הידועים ביותר בעולם, אך יש שירות חשאי גדול ממנו, NSA, שהוא ארגון המודיעין הגדול בעולם. באופן מפתיע, גאוות הארגון אינה סוכנים מסוגו של ג'יימס בונד, אלא מתמטיקאים העוסקים בפענוח המסרים המוצפנים שאוסף הארגון ברחבי תבל. NSA הוא המעסיק הגדול ביותר של מתמטיקאים בעולם, וכדרך ליצירת מאגר של עובדים עתידיים הוא מציג אתר זה ובו חידות מתמטיות לילדים. לפני שאתם ממהרים לפתור את החידות שמופיעות שם, ענו בבקשה על חידה מקדימה: האם פתרון של חידה באתר של NSA מהווה יצירת מגע עם סוכן זר, עבירה שעונשה מאסר ממושך?

ג'ון פון נוימן בשנות ה-40 של המאה ה-20

ג'ון לואיס פון נוימן (28 בדצמבר 19038 בפברואר 1957), מתמטיקאי אמריקאי ממוצא יהודי-הונגרי. היה שותף לשניים מההישגים הטכנולוגיים הבולטים של המאה העשרים: פיתוח פצצת אטום ופיתוח המחשב האלקטרוני, אך זכור בעיקר כיוצרה של תורת המשחקים. כמו כן הרים תרומה משמעותית לחקר מכניקת הקוונטים, תורת הקבוצות (תחום שהפגיש אותו עם אברהם הלוי פרנקל) וענפי מתמטיקה נוספים. שילב בהצלחה רבה פעילות במחקר טהור ובמחקר שימושי, בענפי מדע רבים.

פון נוימן נולד בבודפשט למשפחה יהודית מתבוללת. אביו, מקס נוימן, היה בנקאי יהודי אמיד. עד גיל 10 למד בבית בהדרכת מורים פרטיים כמנהג עשירי אירופה. סימנים של גאונות ניכרו בו כבר בילדותו. יוג'ין ויגנר, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1963, שלמד יחד עם פון נוימן בבית הספר התיכון, אמר עליו מאוחר יותר: "יש שני סוגי אנשים בעולם: ג'וני פון נוימן ואנחנו, השאר". המורה למתמטיקה בגימנסיה זיהה מיד את כושרו המתמטי יוצא הדופן והמליץ להוריו לשכור לו מורה פרטי למתמטיקה. ההורים שכרו את מיכאל פקטה שהיה מרצה באוניברסיטת בודפשט והוא לימד אותו מתמטיקה גבוהה.

אסיר

דילמת האסיר היא בעיה בתורת המשחקים, שפורסמה בשנת 1950 על ידי מריל פלאד ומלווין דרשר מ"מכון ראנד" בארצות הברית. על פי גרסה נפוצה לבעיה, המשטרה עצרה שני עבריינים שביצעו פשע משותף, ומפרידה ביניהם לצורך חקירה. אם תצליח המשטרה להביא להרשעתם, ייכנס כל אחד מהם לכלא ל-15 שנה, אך בחוסר ראיות הם יועמדו לדין על עבירה משנית שבגינה ייכנס כל אחד מהם לכלא לשנה אחת (למשל רצח לעומת החזקת נשק לא חוקית). למשטרה אין די ראיות להעמידם לדין, ולכן היא מציעה לכל אחד מהם להעיד נגד רעהו, וכפרס מובטח לעד עונש מופחת: אם שני האסירים יקבלו את הצעת המשטרה, ייכנס כל אחד מהם לכלא לחמש שנים, ואם רק אחד מהם יעיד ורעהו ישתוק, העד יצא מיד לחופשי וחברו ייכלא ל-15 שנה. לפיכך, לא משנה מה כל אסיר יעשה, לשני כדאי להודות באשמה, ואף על פי כן הודאה באשמה של שני האסירים היא לא התוצאה האופטימלית עבורם. במדע המדינה משמשת דילמת האסיר להמחשת מצב שבו שתי מדינות נכנסות למרוץ חימוש, לדוגמה המלחמה הקרה בין ארצות הברית לברית המועצות, שכן בין אם המדינה השנייה תוקפת או לא עדיף להם לתקוף, אך שלום הדדי עדיף על מלחמה הדדית.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

Mario 1.jpg

מריו ליביו, חיתוך הזהב: קורותיו של מספר מופלא, תרגם עמנואל לוטם, הוצאת אריה ניר, 2004.

חיתוך הזהב, שעל שמו נקרא הספר, הוא המסגרת שלתוכה שוזר המחבר פרקים מתולדות המתמטיקה, החל מתרומותיו של פיתגורס, בן המאה ה-6 לפנה"ס וכלה בתרומותיו של ג'ון הורטון קונוויי בן המאה העשרים. הספר מביא רבים מרעיונותיה היפים של המתמטיקה, וכיוון שהוא פונה לקורא שאינו מתמטיקאי, את עשר ההוכחות הנכללות בו הוא מרכז בנספחים בסוף הספר. הפרק האחרון של ספר זה, "האם אלוהים הוא מתמטיקאי?" הפך לכותרתו של ספר נוסף מאת אותו מחבר, מריו ליביו, שהוא אסטרופיזיקאי ישראלי-אמריקאי.

עשו ממני שעון ראשוני!

השאירו שש שעות עוקבות על פני השעון ללא שינוי, והחליפו את מקומן של השעות הנותרות, כך שהסכום של כל זוג שעות סמוכות יהיה מספר ראשוני (יש שני פתרונות אפשריים).


משפטים מפורסמים
השערות מפורסמות
מבט אל הלוח – משפט או השערה מפורסמים

משפט המינימקס הוא משפט בתורת המשחקים העוסק במשחק סכום אפס סופי לשני שחקנים. (משחק סכום אפס הוא משחק שבו הרווח של כל משתתף מאוזן במדויק על–ידי ההפסד של המשתתפים האחרים). המשפט קובע כי לכל משחק מסוג זה קיימת דרך פעולה אופטימלית לשחק מבחינת שני השחקנים, כך שהרווח המינימלי של כל אחד אינו תלוי במעשי השני. המשפט הוכח בשנת 1928 על ידי ג'ון פון נוימן. משפט המינימקס נקרא כך כיוון שכל שחקן שואף למקסם את התשלום המינימלי שהוא יכול לקבל מהמשחק, או למזער ("למנם") את ההפסד המקסימלי.

נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט

תורת ההחלטות היא תחום במתמטיקה המסייע בקבלת ההחלטה הטובה ביותר לאור מידע נתון. כמעט בכל המקרים ניצבות בפני המחליט שתי בעיות:

  • אין דרך פשוטה לכמת באופן מתמטי ידע או השלכות של אירוע.
  • המידע הקיים אינו שלם ולכן יש להעריך (לרוב באופן הסתברותי) את המידע החסר.

בקבלת החלטות עוסקים באפשרויות לקבל החלטה (Actions או Alternatives) כאשר לכל החלטה יש משמעויות (Consequences).

תחום זה, כמו חקר ביצועים ותורת המשחקים, פותח בזמן מלחמת העולם השנייה (למרות שעסקו בו גם לפני כן) ובמשך המלחמה הקרה. כיום משמשים מודלים בקבלת החלטות לקבלת החלטות בתחומים רבים כמו רפואה, כלכלה ומדעי המחשב בניסיון לפתח מערכות שיסייעו בקבלת החלטות.


ערכים המחפשים עורכים

Exquisite-kwrite.png

דיונים, ייעוץ ועזרה