רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.


הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה
הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה

גאומטריה פרויקטיבית היא גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה.

הגאומטריה הפרויקטיבית נולדה מתוך הצרכים המעשיים של אמני הציור. לעומת הציור הרוחני והסמלי של ימי הביניים, לקראת הרנסאנס עלתה קרנו של הציור המדויק – הדומה לנראה בעין. החייאת הכתבים הקלאסיים והאמונה שבבסיס הטבע עומדים עקרונות מתמטיים, הובילה את הציירים והמתמטיקאים בני התקופה לנסות ולמצוא שיטה סדורה לציור העולם התלת-ממדי על בד ציור דו-ממדי.

האמנים הראשונים בתחום זה שמשנתם ידועה לנו היו פיליפו ברונלסקי ולאונה בטיסטה אלברטי, שחיבר את הטקסט הראשון (הידוע כיום) בנושא, שכותרתו "על הציור" – De pictura. אנשי מפתח מאוחרים יותר בתחום זה הם פיירו דלה פרנצ'סקה, לאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דירר ואחרים.

המתמטיקאי ז'ראר דזרג (Gérard Desargues) היה ממניחי היסודות התאורטיים לגאומטריה הפרויקטיבית, ועסק בה יחד עם בלז פסקל.


לאונרד אוילר
לאונרד אוילר

לאונרד אוילר (Leonhard Euler)‏ (15 באפריל 170718 בספטמבר 1783), מתמטיקאי ופיזיקאי שווייצרי מוביל, שבילה את רוב חייו ברוסיה ובגרמניה. הוא פרסם יותר עבודות במתמטיקה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. אוילר ביצע תרומות ותגליות בתחומים מגוונים, כמו חדו"א ותורת הגרפים. הוא גם הציג חלק נכבד מן המינוחים וסימני המתמטיקה המודרניים, במיוחד בתחום האנליזה מתמטית, כדוגמת סימון הפונקציה. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודתו במכניקה, באופטיקה ובאסטרונומיה.

אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא היה המתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה: הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו. ישנם 60-80 מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת לפייר-סימון לפלס באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו".

קשת השער בסנט לואיס שבמיזורי היא מבנה מרשים פרי תכנונו של האדריכל אירו סארינן הבנוי בצורת קוסינוס היפרבולי, הקרויה קו השרשרת. הקשת מסמלת את "שער הכניסה" למערב ארצות הברית ומוקדשת למתיישבים שפרצו את הדרך מערבה במאה ה-19.

קירוב של הפונקציה לפולינום מדרגה n באמצעות פיתוח לטור מקלורן.

דיוקן פייר דה פרמה בצבעי שמן על בד
דיוקן פייר דה פרמה

ב-1637, על שולי עותק של הספר "אריתמטיקה" מאת דיופנטוס, כתב פייר דה פרמה את המשפט הבא: עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים x,y,z המקיימים את המשוואה: , ללא הוכחה, ובצירוף הערה: "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט הזה שהשוליים הללו צרים מלהכיל". המשפט הפך לאחד המשפטים המפורסמים בתורת המספרים, אך לאחר ניסיונות כה רבים להוכיח או להפריך אותו, בתחילת המאה ה-20 הוא נראה אתגר קשה עד בלתי אפשרי בעיני קהילת המתמטיקאים. עניין מחודש בבעיה עורר התעשיין היהודי-גרמני פאול וולפסקהל, שהיה מתמטיקאי חובב, והקצה בצוואתו 100,000 מרקים למוכיח המשפט. עם פטירתו וגילוי דבר הצוואה (1908), הפכה הזכייה בפרס וולפשקל ליעדם של חובבים רבים, שטענו שמצאו הוכחה למשפט, אך הוכחתם הייתה שגויה. מכתבים כה רבים ושגויים נשלחו לאוניברסיטת גטינגן כדי לזכות בפרס, עד שפרופסור אדמונד לנדאו נהג לתת לסטודנטים שלו למלא מכתב סטנדרטי עם מספרי העמוד והשורה בהם נמצאה הטעות הראשונה. מרטין גרדנר מספר על שיטות יצירתיות אף יותר: שליחת המכתב בחזרה והפניה לחובבן הקודם ששלח מכתב כבר סמכא, או התשובה "יש לי הפרכה נפלאה להוכחה שלך, אבל לרוע המזל הנייר הזה צר מלהכילה".


אריתמטיקה היא להיות מסוגל לספור עד 20 מבלי לחלוץ נעליים.


נוסחה להפרש של שני ריבועים. נוסחה בסיסית באלגברה. כמו יתר הנוסחאות באלגברה בסיסית, פיתוח הנוסחה פשוט מאוד ומבוסס על חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף. אולם שימוש בנוסחה "לכיוון השני" מימין לשמאל מאפשר לבצע מניפולציות לא טריוויאליות משום שהוא מחליף ביטוי שעל פניו לא נראה פריק, במכפלה של שני ביטויים פשוטים יותר. על נוסחה זו מבוסס טריק שנקרא מכפלה בצמוד


נגדיר מלבן מסוג m כמלבן שהאורך של לפחות אחת מצלעותיו הוא מספר טבעי. צריך להוכיח שאם ניתן לבנות מלבן כלשהו ממלבנים מסוג m, אז גם המלבן עצמו הוא מלבן מסוג m.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: The Grey Labyrinth (באנגלית)

אוסף מדהים של חידות מתמטיות, פרי עמלו של קווין לין.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

פול הופמן, האיש שאהב רק מספרים – סיפורו של פאול ארדש וחיפושו אחר האמת המתימטית, תרגום: דרורה בלישה, הוצאת מטר, 2001.

הספר הוא ביוגרפיה של פאול ארדש, מתמטיקאי יהודי יליד הונגריה, שחי בארצות הברית, ובמדינות נוספות ובהן ישראל. ארדש עסק בעיקר בתורת המספרים ובמתמטיקה בדידה, ופרסם מעל ל-1,500 מאמרים בתחומים אלה, רובם הגדול עם מחברים-עמיתים.

מחבר הספר, פול הופמן, עוסק בפופולריזציה של המדע, כמנחה טלוויזיה, ככותב של ספרי מדע פופולרי וכעורך של כתב העת "דיסקבר".

משפטים מפורסמים
השערות מפורסמות

אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי באנליזה מתמטית, המאפשר להעריך את הביטוי . האי-שוויון קובע ש- לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

מבט על משפטים והשערות נוספים
נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט


תורת הכאוס הוא ענף במתמטיקה ובפיזיקה המתאר התנהגות של מערכות דינמיות שמגלות רגישות גבוהה לשינויים קטנים בתנאי התחלה. המושג כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק. בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות בה יש אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא חסומה, כלומר מוגבלת לאירועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך – אוסף יציב של מצבים.

החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגותן לא ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.

זמינותם של מחשבים זולים וחזקים יותר מאפשרת יישום רחב יותר של תאוריית הכאוס וכיום תורת הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה