עקב צפיפות האוכלוסין, הוחלט בכפר קטן שכל משפחה שזכתה לבן זכר תפסיק ללדת. בהנחה שהסיכויים להולדת בן ובת שווים, האם בכפר יהיו יותר בנות מבנים או יותר בנים מבנות?
| פתרון
|
כמו חידות רבות וטובות, לחידה הזאת ישנו פתרון אחד המסתמך על הדרך שבה מלמדים אותנו לפתור שאלות בהסתברות, אבל יש גם פתרון קל ופשוט.
- הפתרון הארוך: עלינו לחשב את תוחלת למספר הבנים ולמספר הבנות לכל משפחה. תוחלת מספר הבנים היא 1, ותוחלת מספר הבנות נתונה באופן הבא: יש סיכוי של 1/2 שבהריון הראשון יוולד בן ולכן יהיו 0 בנות, סיכוי של 1/4 שבהריון השני יתקבל בן ואזי תהיה בת אחד, סיכוי של 1/8 לשתי בנות, של 1/16 לשלוש בנות וכך הלאה. באופן כללי תוחלת מספר הבנות היא הסדרה:
זאת חידה נחמדה בפני עצמה להוכיח שהסדרה הזאת אכן מתכנסת, והיא מתכנסת למספר 1.
| פתרון
|
| ניתן לכתוב את הטור כסכום של טורים הנדסיים:
1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+...
+1/8+1/16+1/32+1/64+...
+1/16+1/32+1/64+...
+...
כל אחת מהשורות היא טור הנדסי, והסכומים של השורות הם 1/2+1/4+1/8+....=1. באופן פורמלי אפשר לכתוב את זה כך:
|
|
מכאן שיהיו אותו מספר בנים ובנות בכפר.
- הפתרון הקל יותר: כל לידה הינה בלתי תלויה בלידות הקודמות, והתוצאה שלה אינה קשורה למנגנון הקובע איזה לידות תתממשנה. מכיוון שבכל לידה שהיא בכפר הסיכוי הוא 1/2 לקבל בן או בת, יהיו בכפר אותו מספר בנים ובנות.
|
|
