קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי

${\begin{aligned}G&=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \\&=0.915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774\ldots \end{aligned}}$

כאשר $\beta$ היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.

הגדרות נוספות

${\begin{aligned}G&=\int \limits _{0}^{1}\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+(xy)^{2}}}\,dx\,dy\\G&=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {2t}{\sin(2t)}}\,dt\\G&={\frac {1}{4}}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\\G&=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}{\rm {K}}(t)\,dt\end{aligned}}$

• כאשר ${\rm {K}}(t)$ מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.

${\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int \limits _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2}})dx={\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{0.5}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)dy\\G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left({\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}\right)\\&{}\quad -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{2}(8n+1)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{5}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{8}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{11}(8n+7)^{2}}}\right)\\G&={\frac {\pi }{8}}\log(2+{\sqrt {3}})+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}\end{aligned}}$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

${\begin{aligned}&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}=\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=\pi ^{2}-8G\end{aligned}}$

קישורים חיצוניים

• קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים