קוואזי-איזומטריה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים, קוואזי-איזומטריה היא פונקציה ממרחב מטרי למשנהו , השומרת על המבנה המטרי באופן רופף, במובן הבא:

  1. קיימים קבועים כך שלכל מתקיים ו-; ובנוסף לזה,
  2. לכל קיימת נקודה כך ש- .

משמעות התנאי הראשון היא שלפונקציה מותר לשנות את המרחק בין נקודות, אבל במידה מתונה בלבד; בפרט, אם המרחק בין נקודות גדל לאינסוף, כך גם המרחק בין התמונות שלהן. התנאי השני מכריח את הפונקציה לכסות חלק משמעותי מן המרחב השני: כל נקודה ב- נמצאת במרחק לכל היותר מנקודה שהגיעה מ-.

מרחבים שיש ביניהם קוואזי-איזומטריה הם מרחבים קוואזי-איזומטריים. זהו יחס שקילות: הרכבה של קוואזי-איזומטריות היא קוואזי-איזומטריה, ולכל קוואזי-איזומטריה מ- ל- יש קוואזי-איזומטריה בכיוון ההפוך, מ- ל-. מרחבים איזומטריים הם בפרט קוואזי-איזומטריים.

קוואזי-איזומטריה מודדת את המבנה של המרחב בקנה מידה גדול בלבד. למשל, כל מרחב קוואזי-איזומטרי למרחב המתקבל כשמוציאים ממנו כדור (גדול ככל שיהיה). בפרט, כל המרחבים החסומים קוואזי-איזומטריים זה לזה.

קוואזי-איזומטריה של חבורותעריכה

לכל חבורה, ובפרט כאלה שהן אינסופיות אבל נוצרות סופית, אפשר להתאים את גרף קיילי שלה ביחס לקבוצת יוצרים (סופית) נתונה; גרף כזה אפשר להפוך באופן טבעי למרחב גאודזי. שינוי של קבוצת היוצרים משנה את הגרף, אבל כל הגרפים המתקבלים באופן כזה עבור חבורה נתונה הם קוואזי-איזומטריים זה לזה. אפילו גרפי קיילי של כל שתי חבורות בעלות מידה משותפת הם קוואזי-איזומטריים זה לזה. אמנם, גם לחבורות שאינן בעלות מידה משותפת יכולים להיות גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, ובכל זאת, מבנה הגרף - עד כדי קוואזי-איזומטריה - מלמד רבות על החבורה. אם   ו-  נוצרות סופית ויש להן גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, ואם   היא סופית, בעלת הצגה סופית, דמוי-אבלית, דמוי-נילפוטנטית, דמוי-חופשית, אמנבילית או היפרבולית, אז   מקיימת את אותה תכונה[1]. מאידך, יש דוגמאות לחבורה פתירה נוצרת סופית, וחבורה שאינה דמוי-פתירה, עם גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים. גם תכונת T של קשדן אינה נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה של החבורות.

ראו גםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Survey on geometric group theory, Wolfgang Luck, 2008.