קונטרה פוזיטיב

שקילות בין גרירות
(הופנה מהדף קונטרפוזיציה)

בלוגיקה, עקרון הקונטרה פוזיטיבאנגלית: Contrapositive) קובע שמצב שבו טענה גוררת לוגית מסקנה , שקול טאוטולוגית למצב בו שלילת המסקנה גוררת את שלילת הטענה המקורית .[1]

בכתיב מתמטי: .

הביטוי הימני הוא הקונטרה פוזיטיב של הביטוי השמאלי, ואחד מהם מתקיים אם ורק אם האחר מתקיים.[2]

הסברעריכה

דוגמהעריכה

נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“.

שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב על המשפט יוביל למסקנה שאם אני לא לובש מעיל, אז בהכרח לא יורד גשם – כי אילו היה יורד גשם, בהכרח הייתי לובש מעיל.

הצרנה של התהליך תהיה:

  •  ”יורד גשם“
  •  ”לובש מעיל“

היות שנתון   (”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“) אז מתקיים גם הקונטרה פוזיטיב של הנתון,   (”אם אני לא לובש מעיל, אז לא יורד גשם“).

המחשה חזותיתעריכה

 
קבוצה A מוכלת ב־B, או במילים אחרות, כל האיברים ששייכים ל־A שייכים גם ל־B.

בדיאגרמת ון שבתמונה, אם איבר   שייך לקבוצה  , הוא בהכרח גם שייך ל־ .

כשמסמנים  , הטענה הזו נכתבת  . כך שעל פי עקרון הקונטרה פוזיטיב בהכרח  .

במילים אחרות, אם   לא שייך ל־  אז הוא גם לא שייך ל־ . ואכן, על פי התמונה אם איבר נמצא מחוץ ל־  אז הוא בהכרח מחוץ ל־  – כי כל איבר בתוך   הוא גם בתוך  .

הוכחהעריכה

הוכחה לשקילות הטאוטולוגית בין שני הפסוקים באמצעות לוח אמת פשוט:[3]

 
           
           
           
           
           

עמודת ה־  שווה לעמודת ה־  בכל צירוף ערכים אפשרי של   ו־ , כלומר שהביטויים שקולים טאוטולוגית:

   

שימושיםעריכה

מודוס טוֹלֶנְסעריכה

  ערך מורחב – מודוס טולנס

עקרון המודוס טולנס קובע שאם נתון   ו־ , אזי גם  .[4]

עקרון זה מוכח על ידי שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב כטאוטולוגיית בסיס. המעבר לכלל ההיסק הבא מתבצע תוך שימוש במודוס פוננס, שקובע שמרגע שקיימת גרירה  , והרישא   אמת, אז גם הסיפא   אמת.

  • נתון  , ולכן על פי הקונטרה פוזיטיב מתקיים  .
  • היות שנתון  , על פי עקרון המודוס פוננס והמסקנה הקודמת ( ), גם הסיפא   מתקיימת.
  • מכאן שבצירוף הנתונים   ו־  אכן ניתן להסיק את  , כך שעקרון המודוס טולנס מתקיים.[5]

תנאים הכרחייםעריכה

  ערך מורחב – תנאי הכרחי

עקרון המודוס טולנס הוא זה שמאפשר את קיומם של תנאים הכרחיים – טענות שאם הן לא מתקיימות, ניתן להסיק בוודאות שטענה אחרת גם היא לא מתקיימת.

  הוא תנאי הכרחי לקיומה של טענה   אם  . במצב שבו התנאי אינו מתקיים, כלומר  , אזי על פי הקונטרה פוזיטיב ועקרון המודוס טולנס שנובע ממנו, בהכרח הטענה   אינה נכונה, ומתקיים  . במילים אחרות – התנאי הכרחי, מפני שאם הוא לא מתקיים, אזי גם הטענה בהכרח לא מתקיימת.[6]

למשל, נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“, ובנוסף ש־”אני לא לובש מעיל“. לכן, בהכרח גם לא יורד גשם. יש הכרח שתתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“, מפני שאילולא כן, בוודאות ”לא יורד גשם“. הגרירה לא בהכרח נכונה בכיוון ההפוך, מכיוון שיכולה להתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“ מבלי שירד גשם.

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא קונטרה פוזיטיב בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ "The Law of Contraposition". beisecker.faculty.unlv.edu. נבדק ב-2019-11-26.
  2. ^ "Definition of CONTRAPOSITIVE". www.merriam-webster.com (באנגלית). נבדק ב-2019-11-26.
  3. ^ Richard Hammack, Contrapositive Proof, VIRGINIA COMMONWEALTH UNIVERSITY (באנגלית)
  4. ^ Eric W. Weisstein, Modus Tollens, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  5. ^ Frederick T. Sheldon, Section 1.3 Review | Argument Forms, Oak Ridge National Laboratory, Computer Science and Mathematics Division
  6. ^ Michael Shaffer, Necessary and Sufficient Conditions, 2020-11-18