קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).
הגדרה עריכה
נניח כי C היא קטגוריה וכי היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים קיים מורפיזם יחיד כך שלכל מתקיים . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:
במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).
אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:
המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f1 ∐ f2 או f1 ⊕ f2 או f1 + f2 או [f1, f2].
באופן כללי, הקו-מכפלה של מסומנת
ולעיתים
דוגמאות עריכה
- בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים ו- הם פשוט ההכלות (כגון ). בפרט, , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
- אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם לוקחים קבוצה שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד עם שיכון כאשר היא פונקציית שקילות של קבוצות.
- קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת .
- קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל האיבר שבא מ- שווה לאפס. למשל: אך .
- בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים ו- .
קיום ויחידות עריכה
לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם ו- הן זוג מכפלות של המשפחה אז קיים איזומורפיזם יחיד כך ש .