פתיחת התפריט הראשי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

תוכן עניינים

הגדרהעריכה

נניח כי C היא קטגוריה וכי   היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה   היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים   (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים   קיים מורפיזם יחיד   כך שלכל   מתקיים  . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה   עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f1f2 או f1f2 או f1 + f2 או [f1, f2].

באופן כללי, הקו-מכפלה של   מסומנת

 

ולעיתים

 .

דוגמאותעריכה

  • בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים   ו-  הם פשוט ההכלות (כגון  ). בפרט,  , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
  • אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם   לוקחים קבוצה   שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד   עם שיכון   כאשר   היא פונקציית שקילות של קבוצות.
  • קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת  .
  • קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת   כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל   האיבר שבא מ-  שווה לאפס. למשל:   אך  .
  • בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב   היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים   ו- .

קיום ויחידותעריכה

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה   קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם   ו-  הן זוג מכפלות של המשפחה   אז קיים איזומורפיזם יחיד   כך ש  .

ראו גםעריכה