ריבוע הקסם של פרוידנטל

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

ריבוע הקסם

$\ \mathbb {O}$	$\ \mathbb {H}$	$\ \mathbb {C}$	$\ \mathbb {R}$
$\ F_{4}$	$\ C_{3}$	$\ A_{2}$	$\ A_{1}$	$\ \mathbb {R}$
$\ E_{6}$	$\ A_{5}$	$\ A_{2}\!\oplus \!A_{2}$	$\ A_{2}$	$\ \mathbb {C}$
$\ E_{7}$	$\ A_{6}$	$\ A_{5}\quad$	$\ C_{3}$	$\ \mathbb {H}$
$\ E_{8}$	$\ E_{7}$	$\ E_{6}\quad$	$\ F_{4}$	$\ \mathbb {O}$

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט $\ G_{2}$, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים ($\ G_{2}$ עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).

בניית טיץ

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, $\ \mathbb {R}$, שדה המספרים המרוכבים $\ \mathbb {C}$, אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ \mathbb {H}$ ואלגברת האוקטוניונים $\ \mathbb {O}$. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית $\ x\mapsto {\bar {x}}$, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה $\ t(a)=a+{\bar {a}}$ מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.

נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב- $\ A_{0}$ וב-$\ J_{0}$ את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי $\ \operatorname {Der} A\oplus A_{0}\otimes J_{0}\oplus \operatorname {Der} J$, כאשר $\ \operatorname {Der} A$ היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל $\ [\cdot ,\cdot ]$ ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: $\ [a\otimes x,D+E]=D(a)\otimes E(x)$ כאשר $\ a\in A_{0},x\in J_{0},D\in \operatorname {Der} A,E\in \operatorname {Der} J$. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: $\ [a\otimes x,b\otimes y]={\frac {1}{12}}\operatorname {tr} (xy)D_{a,b}+(ab)\otimes (xy)+{\frac {1}{2}}t(ab)[R_{x},R_{y}]$, כאשר $\ D_{a,b}=R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_{x},R_{y}]$.

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.

מקורות

• Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.

ראו גם

• אלגברת ז'ורדן
• אלגברת אלברט
• אלגברת לי ספורדית