אלגברת קיילי

במתמטיקה, אלגברת קיילי היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8. אלגבראות קיילי מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות ליניאריות מטיפוס G2. הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת קיילי [1].

כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים .

מעל כל שדה, יש אלגברת קיילי מפוצלת אחת, וכל שאר אלגבראות קיילי הן אלגבראות עם חילוק.

אלגברת קיילי המפוצלתעריכה

את אלגברת קיילי המפוצלת אפשר להציג באמצעות וקטורי צורן, , עם פעולת החיבור הטבעית ופעולת כפל המשתמשת במכפלה הווקטורית.

אם יש באלגברת קיילי אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל- כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- . במקרה זה, אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם , כאשר הוא מרחב האיברים בעלי עקבה 0 ב-Q.

נורמהעריכה

תבנית הנורמה של אלגברת קיילי קובעת את האלגברה - לפי משפט של נתן ג'ייקובסון, שתי אלגבראות קיילי ממאפיין שונה מ-2   עם תבניות נורמה   הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות (כלומר קיים איזומורפיזם   כך ש- .

בפרט, ניתן להסיק כי כל שתי אלגבראות קיילי (מעל שדה ממאפיין לא 2) מפוצלות הן איזומורפיות.

אלגברת הנגזרותעריכה

מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, אלגברת הנגזרות של אלגברת קיילי היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס G2. במאפיין שאינו 2 או 3, כל נגזרת של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה  .

הערות שולייםעריכה

  1. ^ E. Kleinfeld, Simple alternative rings, Ann. Math. 58, 544-547 (1953)