ריבוע קסם

במתמטיקה, ריבוע קסם הוא מטריצה ריבועית (מסדר $\!\,n\times n$), שמכילה את כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד n² בסדר כלשהו, כך שסכום המספרים בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים יהיה זהה. סכום זה מכונה "קבוע הקסם", וערכו

ריבוע הקסם מתוך התחריט מלנכוליה של אלברכט דירר; בתחתית הריבוע שנת יצירתו – 1514, ומשני צידיה הספרות המייצגות את אותיות שמו של דירר.

$M_{2}(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$.

היסטוריה

ריבועי קסם מעוררים עניין בבני אדם זמן רב. בימי קדם היו קשורים עם העל טבעי והעולם הקסום. הם נמצאו בממצאים ארכאולוגיים של ערים אסיאתיות קדומות, ולמעשה, האזכור הקדום ביותר של ריבוע קסם הוא מסין, בערך מ-2800 לפני הספירה. הוא נקרא "lo-shu" והאגדות מספרות כי ריבוע הקסם הזה נראה לראשונה על ידי הקיסר "Yu" על גבו של צב שמימי על הגדה של הנהר הצהוב, lo.

בתחריט מלנכוליה שנעשה בשנת 1514 על ידי אלברכט דירר מופיע ריבוע קסם שכזה. דירר שיבץ את שנת היצירה בתחריט.

במאה התשיעית, ריבועי קסם חלחלו אל תוך עולם האסטרולוגיה, כאשר אסטרולוגים ערבים השתמשו בהם בחישובי הורוסקופים. עם העבודות של המתמטיקאי היווני Moschopoulos ב-1300 לספירה, ריבועי קסם ותכונותיהם התפשטו אל תוך העולם המערבי, בעיקר בתקופת הרנסאנס. כמו כן ישנם ריבועי קסם במילים שרצף המילים נקרא גם ישר וגם באלכסונים, ראה ערך ר' אברהם אבן עזרא.

קבוע הקסם

בריבוע הקסם משובצים המספרים $\ 1,2,\dots ,n^{2}$, שסכומם הוא סכום סדרה חשבונית, $\ {\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}$. מכיוון שסכום המספרים בכל אחת מ-n השורות אמור להיות קבוע, הסכום בכל שורה שווה ל-$\ {\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$; כך גם לעמודות.

דוגמאות לריבועי קסם

ריבוע קסם מסדר 3

4	9	2
3	5	7
8	1	6

בריבוע קסם בן 9 משבצות, הספרה האמצעית תמיד תהיה 5

ריבוע קסם מסדר 4 – ריבוע הקסם של דירר

דוגמה נוספת היא ריבוע הקסם מסדר 4 שיצר דירר בתחריטו מלנכוליה, המכיל תכונות מעניינות נוספות:

ריבוע הקסם שבתחריט, ו-52 התצורות המסתכמות ל-34

בניית ריבוע קסם מסדר אי־זוגי

קיימת דרך פשוטה לבניית ריבוע קסם מסדר $\ n$ כאשר $\ n$ הוא מספר טבעי אי-זוגי. יש לכתוב בריבוע את כל המספרים מ־$\ 1$ ועד $\ n^{2}$ לפי הסדר על־פי הכללים הבאים:

1. כתבו את הספרה 1 במשבצת במרכז השורה העליונה.
2. מעתה והלאה יש לנוע למשבצת הסמוכה באלכסון למעלה וימינה. חריגים:
   • אם מגיעים לקצה הריבוע – יש לחזור מצדו השני:
     • אם מגיעים לקצה העליון של הריבוע – חוזרים מהקצה התחתון.
     • אם מגיעים לקצה הימני של הריבוע – חוזרים מהקצה השמאלי.
   • אם המשבצת שאליה הגעתם מלאה, יש לנוע משבצת אחת למטה במקום באלכסון למעלה וימינה (הדבר מתרחש אם ורק אם המספר האחרון שהוצב הוא כפולה של $\ n$).
3. כתבו את המספר הבא במשבצת שאליה הגעתם.

דוגמה לבניית ריבוע קסם מסדר 5 עם סכום 65
חצי הדרך $\ \downarrow$ 8 1 $\ \nearrow$ 7 5 13 6 4 3 12 10 9 2 11	התוצאה הסופית 15 8 1 24 17 16 14 7 5 23 22 20 13 6 4 3 21 19 12 10 9 2 25 18 11

ראו גם

• ריבוע קסם-על
• ריבוע לטיני
• סודוקו
• כוכב קסם
• משושה קסם

קישורים חיצוניים

• ריבוע קסם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• רבועי קסם, דף שער בספרייה הלאומית
• "ריבועי קסם", מאת הסופר אהרן מוריאלי באתר המרכז לתכנון לימודים של מכללת קיי, באר שבע
• ריבוע קסם, באתר MathWorld (באנגלית)