שיחה:אקסיומת הבחירה

עוד על אקסיומת הבחירה: http://mathworld.wolfram.com/AxiomofChoice.html

הוסף לערך. טרול רפאים 17:23, 10 אוגוסט 2005 (UTC)

שאלה

אני מתייחס לקטע הבא מתוך הערך:

"לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך ידועה (וקרוב לודאי שלא תמצא כזו) לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה."

לי נראה שיש דרך פשוטה לבנות פונקציה כזו ואינני מצליח לראות היכן אני טועה.

כל קבוצה של מספרים ממשיים או שהיא מכילה את האיבר - 0, או שלא. אם היא מכילה, נבחר אותו.

אם לא, נביט מנקודת ה-0 מהו הקטע שבו האיבר שהכי קרוב ל-0, למשל אם הקטע הכי גבוה בשליליים חסום מלמעלה ע"י מינוס שורש 2, והקטע הכי נמוך בחיוביים חסום מלמטה ע"י המספר 3, נבחר את הקטע השלילי. במקרה ושתי הקטעים קרובים במידה שוה נבחר את הקטע החיובי. בקטע שבחרנו, אם הוא מכיל מספר שלם כלשהו נבחר את הקרוב ביותר ל-0, אם לא הרי שהקטע אינו אינסופי, ונבחר את נקודת האמצע שלו.

מה לא נכון כאן? אורח נטה ללון 14:50, 28 בספטמבר 2006 (IDT)

הקבוצות שעליהן מדובר רחוקות (בדרך כלל) מלהראות כמו אוסף של קטעים - צריך לחשוב עליהן כמו על "רסס" של נקודות, שמרחוק נראה כאילו גם הקבוצה וגם המשלים שלה מכסות את כל הישר הממשי.

בהמשך לרעיון שלך, אפשר לסדר היטב את הרציונליים (למשל, קודם לפי סכום המונה והמכנה בערכם המוחלט, ואז לפי ערכו המוחלט של המונה), ולבחור בכל קבוצה את "הרציונלי הקטן ביותר" (לפי הסדר הזה). הבעיה היא שהשיטה הזו מתאימה רק לקבוצות שמכילות רציונליים (וכל קבוצה שמכילה קטע מכילה רציונליים), אבל לא לכולן (ויש המון קבוצות שאינן מכילות רציונליים). עוזי ו. 14:57, 28 בספטמבר 2006 (IDT)

לא כל כך הבנתי מה זה משנה אם מדובר בקטעים או בנקודות. אבל חשבתי שאולי אתה מתכוין לקבוצה כזו לדוג'. נניח קבוצה שכוללת את שורש 2, את השורש של שורש 2, את השורש של השורש של שורש 2 וכו' וכו'. במקרה כזה לא נוכל לבחור את הקרוב ביותר ל-0 כי כל איבר שנבחר ישנם א"ס איברים בקבוצה הקרובים ממנו ל-0, לזאת התכוונת? אורח נטה ללון 15:15, 28 בספטמבר 2006 (IDT)

זה משנה, משום שקטעים חייבים להכיל נקודות רציונליות, וסתם קבוצות - לא. אם לקבוצות יש מבנה אחיד, אפשר לבחור מהן נקודות בשיטות שונות; מה שאי-אפשר לעשות זה למצוא שיטה שתבחר נקודות מקבוצות כלליות, גם כאשר הן מוזרות ביותר (לו הייתי יכול לתת דוגמא, זו לא היתה קבוצה מוזרה). עוזי ו. 15:57, 28 בספטמבר 2006 (IDT)

הערה

האקסיומה מתייחסת לבחירת מספר אינסופי של איברים ממספר אינסופי של קבוצות, ולא לבחירה של איברים ממספר סופי של קבוצות, אנא תקנו זאת.

האקסיומה מתייחסת לבחירה של אברים ממספר כלשהו של קבוצות; היא אינה נחוצה כאשר המספר סופי, אבל זו לא סיבה לנסח אותה באופן מוגבל (ובעייתי מבחינה לוגית ("מספר סופי של קבוצות")). עוזי ו. 23:37, 28 ביוני 2007 (IDT)

אז לפחות כדאי להבהיר שהאקסיומה אינה נחוצה בעבור מספר סופי של בחירת איברים (למשל אם יש לי קבוצה, ואני רוצה לבחור ממנה איבר) כמו שעשו בויקיפדיה האנגלית.

שכתבתי כמה פסקאות ראשונות. עוזי ו. 21:54, 1 ביולי 2007 (IDT)

שאלה על דוגמת הגרביים

נכתב שהשאלה היא האם ניתן לבחור גרב אחת מכל נעל למרות שלא ניתן להגדיר גרב שמאלית. אני לא בטוח שהבנתי למה הכוונה- האם אין תכונות ששונות בין הגרביים(באותה נעל) אם כך הן לא יכולות להיכלל באותה קבוצה(קבוצה בהגדרתה לא יכולה להכיל אותו איבר פעמיים). אם יש תכונה כלשהי(אפילו אינדקס) ששונה אז יהיה אפשר להגדיר את הקבוצה על פי התכונה הזו במקום ע"פ הימין-שמאל.

אריק1111 - שיחה 11:18, 27 בפברואר 2012 (IST)

סיפור הגרביים והנעליים הוא משל. הגרביים הן, כביכול, זהות, ולא ניתן להבדיל ביניהן באופן שיטתי. לכן, כדי לבחור גרב אחת מכל זוג, יש "לבחור באקראי" אינסוף פעמים - וזה דבר שרק אקסיומת הבחירה מאפשרת לעשות. עוזי ו. - שיחה 15:34, 27 בפברואר 2012 (IST)

לא הבנתי לגמרי- אם הגרביים זהות איך הן יכולות להיכלל בקבוצה אחת.אריק1111 - שיחה 22:47, 27 בפברואר 2012 (IST)

במשל שלנו הגרביים אינן זהות לגמרי. אבל אדם שמסתכל לא מסוגל להבחין ביניהן. באופן דומה אקסיומת הבחירה מאפשרת לך לבחור איברים מקבוצות שאין לאיבריהן שום מאפיינים מובחנים שאתה מסוגל להגדיר. דוגמה אמיתית קצת יותר קשה לתת. מקרה ידוע אחד הוא כזה:

נגדיר שני מספרים ממשיים כשקולים אם ההפרש בינהם הוא מספר רציונלי. כעת נוכל לחלק את כל הממשיים לקבוצות כך שכל מספר נמצא בקבוצה עם כל המספרים השקולים לו. נניח ואתה רוצה לבנות קבוצה חדשה שבה יהיה איבר אחד מכל אחת מהקבוצות האלה. מסתבר שאין שום דרך קונסטרוקטיבית לעשות זאת. לכן כדי להרכיב קבוצה שכזו נדרשת אקסיומת הבחירה. דניאל • תרמו ערך 23:44, 27 בפברואר 2012 (IST)

אני מפספס משהו: למה לא באמצעות גודל ההפרש? נגדיר פונקציה כלשהי שתגזור מגודל ההפרש את האינדקס של האיבר שנבחר. Nachy • שיחה 13:22, 28 בפברואר 2012 (IST)

ההפרש בין מה למה? הרי לך מחלקה $\ \alpha$ של מספרים, שההפרש בין כל שניים מהם הוא רציונלי. מהו הנציג שאתה בוחר מתוכה? עוזי ו. - שיחה 15:29, 28 בפברואר 2012 (IST)

חשבתי קודם שהכוונה היא למספר רציונלי ספציפי, אבל אם אני מבין עכשיו נכון, אתם מתכוונים לכל הפרש רציונלי שהוא.

אבל למה לא לבחור, לדוגמה, את האיבר שהמרחק בינו לבין מספר n כלשהו הוא הקטן ביותר (ואם יש שניים כאלה, אז נגדיר מלמעלה או מלמטה)? Nachy • שיחה 16:11, 28 בפברואר 2012 (IST)

אין מספר שכזה. מדובר בקבוצות צפופות. בין כל שני מספרים, יש אינסוף מספרים של הקבוצה. דניאל • תרמו ערך 16:14, 28 בפברואר 2012 (IST)

תודה. Nachy • שיחה 16:18, 28 בפברואר 2012 (IST)

ושאלה נוספת- האם הבעייתיות היא רק בקבוצות שלא ניתנות להגדרה או גם בכאלו שניתנות להגדרה

אריק1111 - שיחה 11:37, 27 בפברואר 2012 (IST)

על מה האקסיומה חלה?

האם האקסיומה חלה רק כאשר $X$ היא קבוצה, או גם על כל מחלקה? בנציון יעבץ - שיחה 13:17, 27 ביוני 2021 (IDT)

רק כאשר זו קבוצה. אם "קיימת פונקציה מ-X" (והרי פונקציה היא בעצמה קבוצה), אז X חייבת להיות קבוצה. עוזי ו. - שיחה 16:09, 27 ביוני 2021 (IDT)