אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית לפיה, בהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטראנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחת מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להשתמש באקסיומת הבחירה.

אקסיומת הבחירה נוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, משפט הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים, אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).

לאחר שמעמדה של אקסיומת המקבילים יושב בראשית המאה ה-19, אקסיומת הבחירה שהוצעה בסוף אותה מאה עוררה מחקר, עניין ואף מחלוקות בהיקף שאף אקסיומה אחרת לא התקרבה אליו. תפקידה במסגרת תורת הקבוצות, שאותו חזה דויד הילברט כשהקדיש לה (ולהשערת הרצף) את הבעיה הראשונה שלו, הוביל להתפתחות עמוקה של יסודות המתמטיקה לאורך כל המאה ה-20. בתחילת דרכה היו הדעות באשר לה חלוקות. האינטואיציוניסטים דחו אותה, אבל כמותם היו גם רבים אחרים. עם זאת, הגרסאות השימושיות של אקסיומת הבחירה, ובראשן משפט הסדר הטוב והלמה של צורן, הביאו את מרבית המתמטיקאים לקבל אותה. מעמדה התחזק כשקורט גדל הוכיח (1938) שהוספת אקסיומת הבחירה אינה פוגעת בעקביות של אקסיומות צרמלו-פרנקל. עם זאת נותרו כיסי התנגדות. למשל המתמטיקאי ואן דר ורדן, שכתב את הספר המשפיע "אלגברה מודרנית", כלל אותה במהדורה הראשונה (1930), השמיט אותה מן המהדורה השנייה (1937) בהשפעתם של עמיתיו לאסכולה הגרמנית, וחזר וכלל אותה במהדורה השלישית (1950), בלחצם של עמיתיו חוקרי האלגברה (דרושה הלמה של צורן כדי להוכיח שלכל שדה יש סגור אלגברי, או שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי). רק כשפול כהן הוכיח ב-1963 ששלילתה של אקסיומת הבחירה, גם היא אינה פוגעת בעקביות של מערכת צרמלו-פרנקל, בשלה ההכרה באקסיומה זו כאובייקט למחקר עצמאי. רוב המתמטיקאים המודרניים מניחים את אקסיומת הבחירה, וחוקרי תורת הקבוצות ויסודות המתמטיקה מתעמקים בגרסאות חלשות שלה ובהשלכותיהן.

אקסיומת הבחירה

במערכת הלוגית של תורת הקבוצות האקסיומטית יש רק סוג אחד של אובייקטים – קבוצות, ויחס אחד – שייכות. לאקסיומות יש אופי של בניה: כל אקסיומה מוסיפה, בתנאים מסוימים, עוד קבוצה למאגר הקבוצות הקיימות. אקסיומת הבחירה מספקת, בתנאים מסוימים פונקציה, שגם היא סוג של קבוצה (קבוצת הזוגות הסדורים מן הצורה $(x,f(x))$; גם זוגות סדורים הם קבוצות).

אם $X=\left\{S_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ היא משפחה של קבוצות, פונקציה $f:X\rightarrow \bigcup _{\alpha \in \Lambda }S_{\alpha }$ נקראת פונקציית בחירה אם היא מקיימת את התנאי $\forall \alpha \in \Lambda :f(S_{\alpha })\in S_{\alpha }$.

האקסיומה קובעת כך: לכל משפחה של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציית בחירה.

המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות מוגדרת כקבוצת פונקציות הבחירה מקבוצות אלה. אקסיומת הבחירה שקולה, אם כך, לטענה שהמכפלה הקרטזית של קבוצות לא ריקות, אינה ריקה.

ניסוח שקול: לכל קבוצה $X$ יש פונקציה $f:P(X)\setminus \left\{\emptyset \right\}\rightarrow X$ כך ש-$f(A)\in A$ לכל $A\in P(X)$ .

תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה

במקרים רבים קיומה של פונקציית בחירה מובטח מן האקסיומות האחרות, ואין צורך באקסיומת הבחירה. בהכללה אפשר לומר שהאקסיומות האחרות "בונות" את פונקציית הבחירה, בעוד שאקסיומת הבחירה היא הנחת קיום שאינה קונסטרוקטיבית.

להלן כמה דוגמאות שבהן אין צורך באקסיומת הבחירה.

• בבחירה ממספר סופי של קבוצות, אפשר לבנות את פונקציית הבחירה באינדוקציה.
• בהינתן אוסף קבוצות לא ריקות של מספרים טבעיים, קל לבנות פונקציה שתבחר איבר מכל קבוצה – מכיוון שהמספרים הטבעיים סדורים בסדר טוב (לפי עקרון הסדר הטוב), ניתן לבנות את הפונקציה המחזירה עבור כל קבוצה את האיבר הקטן ביותר בה.
• בהינתן אוסף קטעים לא ריקים על גבי הישר הממשי, קל לבחור נציג לכל קטע: נקודת האמצע שלו.
• באופן כללי יותר, בקבוצות פתוחות על הישר הממשי יש נקודות רציונליות, ולכן אפשר לבחור מכל קבוצה נקודה שהמונה שלה הוא הקטן ביותר מבין כל הנקודות בקבוצה שהמכנה שלהן הוא הקטן ביותר.

לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה.

על כן, אקסיומת הבחירה היא בעייתית שכן היא אומרת שניתן לעשות דבר מה, אולם אינה מצביעה על שום דרך לעשותו. אכן, רוב ההוכחות שנסמכות על אקסיומת הבחירה מוכיחות קיום של דבר מה מבלי שיראו דרך מעשית לבנות אותו.

יתר על כן, חלק מהתוצאות של קבלת אקסיומת הבחירה נראות נוגדות את האינטואיציה (וזאת, כזכור, בזמן שאקסיומת הבחירה נדמית אינטואיטיבית מאוד). למשל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, שאומר שניתן לסדר בסדר טוב כל קבוצה. בפרט נובע מכך שניתן לסדר את המספרים הממשיים בסדר טוב – דבר הנראה מנוגד לאינטואיציה ושאין דרך ידועה לעשותו בפועל. דוגמה נוספת היא פרדוקס בנך-טרסקי: באמצעות קבלת אקסיומת הבחירה ניתן לפרק את כדור היחידה במרחב התלת־ממדי למספר חלקים, ובאמצעות פעולות של הזזה וסיבוב בלבד להרכיב מהחלקים שני כדורי יחידה מאותו הרדיוס. אקסיומת הבחירה מאפשרת להוכיח שהתהליך אפשרי; היא אינה מראה כיצד ניתן לבצע את התהליך בפועל (יש לזכור כי בכל מקרה מדובר על תהליך הפועל על עצמים מתמטיים מופשטים ואידיאליים).

גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה

חוקרי תורת הקבוצות מכירים מאות גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה, והקשרים ביניהם מובנים במידה רבה, אבל לא במלואם. בין הדוגמאות החשובות, לצד אקסיומת הבחירה הרגילה, AC, אפשר למנות את:

• DC (עקרון הבחירה התלויה): בכל קבוצה עם יחס r כך שלכל x קיים y כך ש-(x,y) ביחס, יש סדרה של נקודות שכל אחת מהן מתייחסת לקודמתה;
• CC: אפשר לבחור מכל סדרה של קבוצות;
• Fin: לכל קבוצה אינסופית X יש שיכון $\ \omega \hookrightarrow X$.
• (AC(fin: אפשר לבחור ממשפחה של קבוצות סופיות;
• KW (עקרון הבחירה של Kinna-Wagner): אם בכל הקבוצות $\ X_{i}$ שני איברים או יותר, אפשר לבחור בכולן תת-קבוצות אמיתיות לא ריקות;
• (CC(fin: אפשר לבחור מסדרה של קבוצות סופיות;
• לכל אלגברה בוליאנית יש אידיאל מקסימלי.

ידוע ש-$\ AC\implies DC\implies CC\implies Fin\implies CC(fin)$, וכן $\ AC\implies KW\implies AC(fin)\implies CC(fin)$.

גרסאות חזקות יותר של אקסיומת הבחירה

קיימות אקסיומות אחרות של תורת הקבוצות שגוררות את אקסיומת הבחירה: למשל אקסיומת הבנייה, שמגבילה את עולם הקבוצות לאוסף מינימלי של קבוצות, גוררת את אקסיומת הבחירה. אקסיומה זו גוררת את השערת הרצף המוכללת שגוררת בתורה את אקסיומת הבחירה.

למעשה, אקסיומת הבנייה גוררת תוצאה חזקה יותר ממה שמתקבלת רק מהתקיימות השערת הרצף המוכללת – היא גוררת שמתקיימת אקסיומת הבחירה הגלובלית: קיימת פונקציית בחירה על פני כל יקום הקבוצות שמוגדרת באמצעות נוסחה קבועה.

לא ניתן לנסח את אקסיומת הבחירה הגלובלית בשפה של ZFC, כיוון שלא ניתן לכמת על פני מחלקות (או נוסחאות) בשפה הזו. בשפות שמרחיבות את השפה של ZFC ושמתירות כימות של מחלקות, אקסיומה זו ניתנת לניסוח, ולעיתים היא אף נובעת מאקסיומות חזקות יותר.

שימושי אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף.

ללא אקסיומת הבחירה מספר תוצאות בסיסיות באלגברה לא מתקיימות. למשל, יש מרחב וקטורי ללא בסיס, יש חוג ללא אידיאל מקסימלי ועוד.

אקסיומת הבחירה נדרשת כדי להוכיח מספר תכונות בסיסיות בטופולוגיה של הישר הממשי, למשל את השקילות בין הגדרת מושג הרציפות של פונקציה באמצעות סדרות ובאמצעות סביבות. בטופולוגיה כללית – משפט טיכונוף דורש את אקסיומת הבחירה.

ללא אקסיומת הבחירה לא ניתן להוכיח כי איחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה הוא בן מנייה. אכן, יש מודל של ZF בו אקסיומת הבחירה נכשלת והממשיים מתפצלים לאיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה. במודל כזה אין משמעות לתורת המידה הרגילה. מאידך, Solovay הראה שמן האקסיומה DC נובעת הסיגמא-אדיטיביות של מידת לבג, ותחת הנחות מעט יותר חזקות מ-ZFC (על מונים גדולים) קיים מודל (ללא אקסיומת הבחירה) בו כל קבוצה היא מדידה.

באנליזה פונקציונלית, משפט האן-בנך ומשפט בנך-אלאוגלו דורשים את אקסיומת הבחירה.

בתורת הקבוצות, אקסיומת הבחירה המלאה הכרחית כדי לטפל בהתנהגות העוצמות השונות. ללא אקסיומת הבחירה יש עוצמות שאינן ניתנות להשוואה, בעוד שעם אקסיומת הבחירה מחלקת כל העוצמות סדורה היטב. משפט טרסקי מדגים את ההשפעה של אקסיומת הבחירה על האריתמטיקה של העוצמות.

ללא אקסיומת הבחירה לא מובטח לנו כי המונים העוקבים הם סדירים. לדוגמה, יש מודל של ZF בו $\omega _{1}$ (המונה שעוצמתו $\aleph _{1}$) הוא חריג.

בדרך כלל, כאשר עוסקים במודלים של תורת הקבוצות ללא בחירה, מחליפים אותה באקסיומה חזקה אחרת. למשל, אקסיומת הכריעות (AD) שלא מתיישבת עם אקסיומת הבחירה, מספקת מודל בו הקבוצות של המספרים הממשיים מתנהגות באופן מאוד סדיר (למשל כל קבוצה מדידה לבג וכל קבוצה שאיננה בת מנייה מכילה קבוצה מושלמת).

לקריאה נוספת

• Axiom of Choice, Horst Herrlich, Lecture Notes in Mathematics Vol. 1876, 2006.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אקסיומת הבחירה בוויקישיתוף

• אקסיומת הבחירה, באתר MathWorld (באנגלית)
• ג'ון בל, אקסיומת הבחירה, באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד (באנגלית)
• אקסיומת הבחירה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)