שיחה:גבול של פונקציה

הועבר מן הערך:

דרכים לחישוב גבולות

הדרך הראשונה והבנאלית ביותר היא הצבה של מספרים בפונקציה מימין ומשמאל לנקודה. למשל עבור: $\lim _{x\to 0}{\frac {6^{x}-2^{x}}{x}}$ נציב

$\,{\frac {6^{x}-2^{x}}{x}}$	$\ x$
$\ 4$	$\ 1$
$\ 2.070552361$	$\ 0.5$
$\ 1.244577363$	$\ 0.1$
$\ 1.112352776$	$\ 0.01$
$\ 1.099978167$	$\ 0.001$
$\ 1.098748795$	$\ 0.0001$
$\ 1.0984758$	$\ -0.0001$
$\ 1.097248217$	$\ -0.001$
$\ 1.085052446$	$\ -0.01$
$\ 0.9707418946$	$\ -0.1$

מהטבלה אפשר לראות בבירור כי הביטוי $\,{\frac {6^{x}-2^{x}}{x}}$ שואף ל-$\ 1.0987$ ($\,\ln 6-\ln 2$) כאשר $\ x$ שואף ל-$\ 0$.

למרבה הצער, שיטה זו אינה עובדת תמיד בגלל יכולותיו המוגבלות של המחשבון לחשב מספר מאוד קטנים. למשל, על פי השיטה הנ"ל $\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {x^{2}+9}}-3}{x^{2}}}=0$

אולם באמצעות חישוב מדויק ניתן לראות כי:

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {x^{2}+9}}-3}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {x^{2}+9}}-3}{x^{2}}}\cdot {\frac {{\sqrt {x^{2}+9}}+3}{{\sqrt {x^{2}+9}}+3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(x^{2}+9)-9}{x^{2}({\sqrt {x^{2}+9}}+3)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}({\sqrt {x^{2}+9}}+3)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+9}}+3}}=\,{\frac {1}{{\sqrt {0+9}}+3}}={\frac {1}{6}}$

---

הסרתי את הפסקה מכמה סיבות:

1. אינני בטוח שזו "הדרך הראשונה לחישוב גבולות"
2. הדוגמה השנייה שגויה - חישוב במחשבון נותן את ההערכה הנכונה
3. ניסוחים לא מתאימים: "למרבה הצער".

בברכה, אבינעם - שיחה 10:27, 21 בספטמבר 2008 (IDT)

קושי או ויירשטראס?

לפי הספר "חשבון אינפיטיסימלי I" של האוניברסיטה הפתוחה את ההגדרה הראשונה שמוצגת בערך למושג הגבול הוצעה על-ידי karl weierstrass ולא על-ידי קושי כפי שתכתוב בערך. האם הם טועים או שהערך טועה?רטיקוס - שיחה 14:45, 9 באוגוסט 2009 (IDT)

לפי הספר חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 1 של בן ציון קון וסמי זעפרני, עמוד 110: "ההגדרה ניתנה ע"י המתמטיקאי Augustin-Louis Cauchy בשנת 1821 אמיר. כבר ביקרת היום בפורטל להט"ב ?! 00:23, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

אז מה עושים? בערך ויירשטראס כתוב שהוא נתן את ההגדרה במונחים של אפסילון ודלתא כשהוא "מסתמך על עבודתו של קושי". האם ניתן להסיק מזה שקושי לא הגדיר את זה במפורש?רטיקוס - שיחה 00:39, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

פניתי לעזרה. בוא נמתין. אמיר. כבר ביקרת היום בפורטל להט"ב ?! 00:44, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

אם השאלה היא אצל מי הופיעה ההגדרה המסויימת הזו ככתבה וכלשונה, אני חושב שמדובר בויירשטראס. אבל הראשון שנתן הגדרות דומות לה (בשפה של אפסילון ודלתא - ואפילו תוך שימוש באותיות האלה) הוא קושי. הניסוח שבערך ויירשטראס הוא המדויק ביותר. אני מתקן את הערך בהתאם. עוזי ו. - שיחה 00:57, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

עיון בספר של האוניברסיטה פתוחה מגלה (עמוד 26, יחידה 3) כי "המתמטיקאי הצרפתי קושי ... הוא שתיאר לראשונה את המושג "x שואף ל-0" במונחים דומים לאלה המקובלים כיום. אשר להגדרת הגבול בלשון בלשון $\varepsilon -\delta$ היא הוכנסה לשימוש מאוחר יותר, על-ידי המתמטיקאי הגרמני ויירשטראס." בברכה, אבינעם - שיחה 01:00, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

ואילו בוויקי באנגלית כתוב:

In calculus, the (ε, δ)-definition of limit ("epsilon-delta definition of limit") is a formalization of the notion of limit. A form of it was defined by 19th-century French mathematician Augustin Louis Cauchy, to whom the (ε, δ) notation is due, and it was then formalized and made logically rigorous by the 19th-century German mathematician Karl Weierstrass.

אבינעם - שיחה 01:04, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

קושי היה הראשון להגדיר (או להגות) את הרעיון:

"When the values successively attributed to a variable approach indefinitely to a fixed value, in a manner so as to end by differing from it by as little as one Wlshes, this last is called the limit of all the others."

Cauchy, Oeuvres, ser. 2, vol. 4, in the Advertisement of the Calcul infinitesimal,p13.

אבל הוא השתמש באפסילון-דלתא ספיציפית בהוכחות, למשל (מהמאמר באמריקן מתמטיקל שויקי באנגלית מצטט):

Let $\delta ,\epsilon$ be two very small numbers; the first is chosen so that for all numerical [i.e., absolute] values of $h$ less than $\delta$ and for any value of $x$ included [in the interval of definition], the ratio ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ will always be greater than $f'(x)-\epsilon$ and less than $f'(x)+\epsilon$

וכל זה בסביבות 1830. לקראת סוף המאה ה-19, ויירשטראס הגדיר את הגבול בצורה הכי קרובה לנהוגה היום:

That a variable quantity $x$ becomes infinitely small simultaneously with another quantity $y$ means: “After the assumption of an arbitrarily small quantity $\epsilon$ a bound $\delta$ for $x$ may be found, such that for every value of $x$ for which $|x|<\delta$, the corresponding value of $|y|$ will be less than $\epsilon$"

לא מצאתי את ההגדרה הזאת באף מקום חוץ מ-

Gowers, T.(2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton, Princeton University Press., pg126

שמצטט את הויירשטראס עצמו מ 1878. ככה שמה שעוזי והויקי באנגלית אומרים הוא הנכון, קושי היה הראשון להציג את הרעיון שווירשטראס הפך להגדרה הפורמלית שאנחנו מכירים היום. Faknr0ll - שיחה 03:15, 12 באוגוסט 2009 (IDT)

הוכחת שקילות ההגדרות

הי, אתם לא חושבים שיש מקום לתת פה את ההוכחה לשקילות של שתי הגדרות הגבול (של היינה ושל ויירשטראס) ? Dudyu - שיחה 19:37, 6 ביולי 2010 (IDT)

כדאי - אבל כבר עכשיו יש בערך עומס של הגדרות קטנוניות ומעט מאד תוכן אחר, ולא כדאי שהערך כולו יעסוק בהגדרה. עוזי ו. - שיחה 21:13, 6 ביולי 2010 (IDT)

גבול בנקודה

לא חסרה ההגדרה של גבול ששואף לאינסוף בנקודה? כמו הגבול החלקי משמלא של X/1?