שיחה:הוצאת שורש ריבועי

טעויות בערך

1. כתוב "שורש של 17956 = ±134". לפי מה שידוע לי, שורש הוא תמיד מספר חיובי, וכדי ששורש יהיה שלילי יש לכתוב "מינוס שורש", כמו שבנוסחת השורשים זה ±שורש...
2. כתוב "לפעמים רוצים לחשב את השורש של מספר שאיננו רציונלי, כגון 301 + 96 שורש 5". המשפט לא נכון - שורש 5 הוא שורש של מספר רציונלי, לא של מספר לא רציונלי. השורש עצמו הוא לא רציונלי, לכן יש לשנות את הנוסח. צהוב עולה 15:54, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

1. עקרונית שורש של a הוא פתרון של המשוואה x²=a. במספרים הממשיים אפשר לצמצם את ההגדרה כך שיתקבל תמיד מספר יחיד (תיווצר פונקציה), אבל זו החלטה שרירותית, ובאותה מידה היינו יכולים לבחור את פונקציית השורש להחזיר תמיד מספר שלילי. במרוכבים ובמבנים אחרים אין לנו אפילו את הפריבילגיה הזו ואנחנו חייבים לכתוב +-. נראה לי שזו הכוונה של כותב הערך.
2. המספר $301+96{\sqrt {5}}$ הוא בעצמו אי רציונלי וממנו מוציאים שורש- כלומר מחשבים את השורש של מספר אי רציונלי.

יאיר ח. 16:07, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

1. הערך צריך להבהיר את המצב הקיים ולא לקבוע את המצב בתיאוריה, ולכן אני חושב שיש לציין שכשמחפשים שורש של 17956 כותבים בתשובה 134 ולא פלוס מינוס 134. 2. אז טעות שלי, לא הבנתי את מה שכתוב צהוב עולה 16:08, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

"המצב הקיים" הוא שגם 134- הוא שורש של 17956; אבל כשמדובר בהוצאת שורש (כפעולה), אפשר לטעון שזו פונקציה שמחזירה את הערך החיובי של השורש, ולכן שיניתי בהתאם. גם הגרסה השניה אינה טעות. עוזי ו. 16:30, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

מההשכלה התיכונית שיש לי, אני יכול להגיד שלכתוב "שורש של 17956 הוא פלוס מינוס 134" זו טעות שתוריד נקודות בבגרות. צהוב עולה 16:32, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

רוצה להגיש ערעור? עוזי ו. 23:55, 1 אוגוסט 2006 (IDT)

שורש בשדות מספרים

הסבר לשחזור: בדרך כלל, אין כזה דבר "מספר חיובי". לפעמים יש הרבה דרכים לשכן את השדה בשדה המספרים הממשיים (וכל אחת מגדירה "מספרים חיוביים" משלה); לפעמים אין אפילו דרך אחת. לטענה כמו "שורש הוא תמיד מספר חיובי", שבדוחק אפשר להבין בהקשר של מספרים ממשיים, אין שום משמעות עקבית בשדות מספרים. עוזי ו. 00:02, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

שורש ריבועי של מספר שלם

מצד אחד אומרים שממש קל לעשות את זה. מצד שני, לא נותנים ולו רמז לאיך עושים את זה. נראה לי קצת מוזר. גדי אלכסנדרוביץ' 07:16, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

---

<המשך הדיון במזנון>

אכן, כדאי שנמשיך את השיחה כאן, עוזי ו. מלבד זאת, אל נא תתרשם יתר על המידה מדבריו של דוד שי כלפיך. לא רק שאינו מבין בשורש ריבועי, אלא אף לא בשורש מילולי. לא מזמן הוא גרס שאין לכתוב בערכים "מסתבר ש..." אלא "מתברר ש...", משום שלדעתו אין להכניס את תורת ההסתברות לכל עניין. כמובן, מסתבר פירושו 'מתוך סברה' ואילו מתברר פירושו 'מתוך בירור'.

אני טוען במרומז בכתבה הקצרה שלא ניתן למצוא נוסחה אנליטית לשורש ריבועי, כל עוד אין נוסחה למציאת מספרים ראשוניים. זוהי הבעיה העיקרית של המספרים הראשוניים שעליה מתבססים גם הצפנים למיניהם. אם יכולנו למצוא נוסחה שכזו, הרי לפי שיטתי יכולנו למצוא בהכרח נוסחה אנליטית למציאת שורש ריבועי.

ומה השיטה שאני מציג? אני מראה את הדרך למציאת כל שורש ריבועי, אם היתה בידנו נוסחה כלשהי למציאת כל המספרים הראשוניים. כמו כן, אני מתווה דרך למציאת רבע מכלל השורשים הקיימים בלא נוסחת המספרים הראשוניים.

כל הכתבה עיקרה להראות איך בעיית המספרים הראשוניים מונעת מן המתמטיקה להתקדם אל עבר מחוזות חדשים. ודאי גם אתה, השתמשת בנפה בצעירותך (עד גבול האפשר), ותהית רבות על כך.

זה היה מאד מגוחך מצידך לקבול כנגדי כי יש אלגוריתם למציאת שורש ריבועי. בשיטות נומריות או יותר נכון לומר בשיטת הניסוי והטעייה אפשר גם למצוא את כלל המספרים הראשוניים, אלא שפעילות מעין זו תימשך לנצח.

להבא, אם יש לך הערה כלשהי, אשמח אם תיידע אותי עליה. לגבי בעיותיו "השורשיות" של דוד שי. הרי הקמתי מאפס את ויקימילון כדי לפתור אותן אחת ולתמיד. בן הטבע 08:43, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

מתוך ג'נטלמניות אני ממליץ שלא להיכנס לכל דיון או ויכוח עם בן הטבע. דוד שי 08:47, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

אני חושש שלא אוכל לעשות זאת. מאחר שאני זה שהצבעתי על הכתבה, אני מאמין שעליי לענות לשאלותיו של בן הטבע. יובל מדר 09:42, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

לבן הטבע - למה אתה מתכוון ב"שיטה אנליטית"? אני מאמין שהאלגוריתם לפירוק לגורמים של מספר הוא שיטה אנליטית ביותר. (גם אם אינו יעיל במיוחד) האם אתה מחפש נוסחא לשורש של n אשר נעזרת בארבע פעולות החשבון? יובל מדר 09:42, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

ואילו אני מצאתי שיטה לחסוך בזמן במיון עולם הטבע: אם בעל-החיים שאותו אתה מבקש למיין הוא זכר, לך אצל הנקבה של אותו מין ומיין אותה. זוהי דרך למיין מחצית מכלל בעלי החיים. עוזי ו. 10:48, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

יש לי כמה הערות על שורשים, שיכולות לשפוך קצת אור על הנושא.

1. אפשר למצוא שורש על-ידי פירוק לגורמים. זו שיטה גרועה ביותר, משום שפירוק לגורמים הוא בעיה קשה (מבחינת הסיבוכיות שלה), ואין שום רבותא בכך שאפשר לחשב דברים אחרי הפירוק.
2. יש קשר הדוק בין בעייה מסויימת של הוצאת שורש, לבין פירוק לגורמים - אלא שלא מדובר בהוצאת שורש ממספר שלם ככזה, אלא דווקא בהוצאת שורש מודולרית. כלומר, בהנתן a ו- n, מציאת x כך ש- n מחלק את x*x-a. ידוע שזו בעיה קשה, במובן המדוייק הבא: היכולת להוציא שורשים מודולו n שקולה (חישובית) ליכולת לפרק את n לגורמים. שוב, מדובר דווקא בהוצאת שורשים מודולרית, ולא כמספרים שלמים סתם.
3. יש עניין דידקטי במציאת "טריקים" לחסכון בזמן בחישוב שורש (או פעולות אחרות). הנה דוגמא המאפשרת למצוא שורש של מספר בן ארבע או חמש ספרות (בהנחה שיש לו שורש שלם): אם k ספרה, ו- (k*(k+1 מספר שספרותיו abc, אז הספרות של k5 (מספר כגון 15 או 45) בריבוע הן abc25. אם נתון מספר, השוואה לביטויים האלה (שאותם קל לזכור) מאפשרת למצוא מיד באיזה איזור נמצא השורש. כך למשל, השורש של 7569 נמצא בין 85 ל- 95, משום ש- 85*85=7225 ו- 95*95=9025. בנוסף לזה, צריך לזכור איך מתנהגת הספרה האחרונה כשמעלים בריבוע. הריבוע מסתיים ב- 0 רק כאשר השורש מסתיים ב-0; הוא מסתיים ב- 1 אם השורש מסתיים ב- 1 או ב- 9; ב- 4, אם השורש מסתיים ב- 2 או ב- 8; ב- 9 אם השורש מסתיים ב- 3 או ב- 7; וב- 6 אם השורש מסתיים ב- 4 או ב- 6; ב-5 אם השורש מסתיים ב- 5; ולעולם לא ב- 2,3,7,8 (אלו אינן שאריות ריבועיות מודולו 10). המספר 7569 מסתיים ב- 9, ולכן השורש שלו מסתיים ב- 3 או ב- 7; כלומר, זהו אחד משני המספרים 87 או 93. המרכיב השלישי והאחרון בשיטה הוא ההשוואה ל- 90*90=8100: מכיוון ש- 7569 קטן יותר, השורש שלו הוא 87. (תרגילים: למצוא את השורשים של 2401, 6084 ו- 12769). גם הזיהוי של גורמים ריבועיים קטנים (4, 9, 25) יכול לקצר את התהליך, וזהו טריק אחר.
4. אסימוב כתב סיפור בשם "תחושת עוצמה", הפותח בטכנאי שגילה דרך למצוא כמה הם 7 כפול 9 ללא מחשבון. בהמשך הוא מגלה דרך לחשב, בעזרת פיסת נייר בלבד, מכפלות ושורשים, "ואפילו שורשים מעוקבים".
5. יש דרך מסודרת לחשב שורש ריבועי של מספרים כמו 457492358243041, בלי מחשבון: מחלקים את המספר לזוגות, מהסוף: $\ 4'57'49'23'58'24'30'41$; לפי הבלוק הראשון (4) ברור שהשורש מתחיל ב- 2. אחר-כך מצרפים אליו את הבלוק השני, ומקבלים 457. מכיוון ש- 22*22 גדול מדי, ברור שהשורש מתחיל ב- 21. צירוף הבלוק הבא נותן 45749, וכמה פעולות כפל והשוואה (שלוש, לכל היותר) מגלות שהשורש צריך להתחיל ב- 213, משום ש- 214*214=45796, גדול מדי. מוסיפים באופן כזה ספרה אחרי ספרה, וביצוע מסודר (בדומה ל"חילוק ארוך" שהוגלה לויקיספר) יכול להאיץ מאד את התהליך על-ידי חישוב השאריות. זהו אלגוריתם בעל סיבוכיות ריבועית במספר הספרות; as good as it gets (כפל של שני מספרים באורך דומה דורש מספר דומה של פעולות). עוזי ו. 10:48, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

הדרך שבסעיף 5 נאה מאוד. מדוע שלא תוסיף אותה, בצורה מפורטת מעט יותר, לערך? הדבר ישתיק (בתקווה - לא מציאותית במיוחד) את בן הטבע וימנע פרסומים תמוהים דומים בעתיד (כי הרי כמובן שהעורך המדעי של Ynet ילמד להיעזר בויקיפדיה). גדי אלכסנדרוביץ' 14:24, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

צריך להכניס את כל הדרכים איכשהו לתוך הערך. קקון 14:31, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

תפסיק לקשקש עוזי, זה לא עושה עליי רושם. כוונתי למציאת נוסחה. כזו לא תהיה עד שלא תהיה נוסחה למציאת מספרים ראשוניים. בן הטבע 19:39, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

אם אתה רוצה נוסחה סגורה שבה יש רק פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק - אין נוסחה כזו. הסיבה היא ששדה תמיד סגור תחת הפעולות האלה. היות והמספרים הרציונליים הם שדה, ולחלק מהם אין שורש רציונלי (לדוגמא- למספר 2), נוסחה כזו לא יכולה להתקיים. יאיר ח. 19:42, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

למרות שאתה בן-שיח בלתי נעים ביותר, אני תוהה למה כוונתך כאן במלה "נוסחה". האם יש "נוסחה" למציאת המכפלה או הסכום של שני מספרים? מהי? האם לדעתך אין נוסחה למציאת מספרים ראשוניים? (אם כן, אתה טועה). האם אתה חושב שלא ניתן למצוא את השורש של מספר מבלי לפרק אותו לגורמים? (זו שטות - אפשר למצוא את השורש של N*N בלי לדעת מהם הגורמים של N). עוזי ו. 23:41, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

עכשיו סיקרנת אותי: איזה נוסחאות יש למציאת מספרים ראשוניים, ואיך בעצם מגדירים "נוסחה"? גדי אלכסנדרוביץ' 09:52, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

א. פולינום אינו יכול לקבל רק ערכים ראשוניים; אבל קיים פולינום (ממעלה גבוהה ומשתנים רבים) שכל הערכים החיוביים שהוא מקבל הם ראשוניים. זוהי תוצאה של ג'וליה רובינסון. ב. יש מספר x>1 (שאינו רציונלי), שהחלק השלם של כל חזקה שלו הוא ראשוני. עוזי ו. 14:25, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

אה, אבל חשבתי שהכוונה היא שכל המספרים הראשוניים ניתנים לקבלה מאותה נוסחה (במילים אחרות, סדרת המספרים הראשוניים ניתנת להצגה באמצעות נוסחה מפורשת, כמו הנוסחאות של סדרה הנדסית וחשבונית). גדי אלכסנדרוביץ' 15:29, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

בפולינום של רובינסון, זה אכן כך (כל ראשוני הוא ערך חיובי של הפולינום). לגבי החזקות, תוצאה דומה היא בלתי אפשרית משיקולי צפיפות. עוזי ו. 16:50, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

עכשיו בלבלת אותי. האם מספר השורשים של פולינום לא טריוויאלי (לפחות מעל שדה) אינו סופי? גדי אלכסנדרוביץ' 17:54, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

קודם כל, לא (למשל: x+y=0). שנית, דיברתי על ערכים ולא על שורשים: קבוצת הערכים החיוביים שהפולינום יכול לקבל שווה לקבוצת הראשוניים. עוזי ו. 01:17, 4 אוגוסט 2006 (IDT)

אופס כפול. ככה זה כשהפולינומים מרובי המשתנים היחידים שהתעסקתי איתם היו מעל שדות סופיים... עכשיו אני גם מחכה וגם מצפה לערך על הפולינום המדובר. גדי אלכסנדרוביץ' 07:36, 4 אוגוסט 2006 (IDT)

אני לא מאמין. איזה וובוס צריך בשביל להתווכח עם פרופסור בתחומו... דודס • שיחה 23:48, 2 אוגוסט 2006 (IDT)

יאיר: הוא דיבר על קבוצת המספרים שיש להם שורש ריבועי רציונלי (לא על קבוצת המס' הרציונליים) שעליה תתבצע נוסחה שבה רק 4 פעולות החשבון בהנחה שאתה יכול למצוא מס' ראשוניים. קקון 03:39, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

הקבוצה הזו לא סגורה גם לפעולות הבסיסיות הללו. למשל, 9 פחות 4 זה 5 (לא בעל שורש שלם), 9 ועוד 4 זה 13 (לא בעל שורש שלם), ו-9 חלקי 4 זה לא מספר שלם בכלל. רק לכפל יש סגירות. כלומר, הנוסחה יכולה לכלול רק כפל (?) גדי אלכסנדרוביץ' 08:50, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

אם הכוונה לנוסחה שמכילה את ארבע פעולות החשבון ולכל מספר רציונלי שיש לו שורש מחזירה את השורש שלו- אז כשנסתכל עליה כפונקציה מהממשיים לעצמם היא תהיה רציפה, והיות וקבוצת הרציונליים הריבועיים צפופה בקבוצת החיוביים (אני כמעט בטוח) הפונקציה תחזיר לכל מספר ממשי את השורש שלו (כי פונקצית השורש גם כן רציפה), ובפרט לכל רציונלי.

אפילו אם הכוונה לנוסחה כנ"ל שמחשבת לכל מספר שלם ריבועי את השורש שלו אז אפשר לראות אותה כמנה של פולינומים (פונקציה רציונלית) ואת הגבול של הפונקציה הזו כאשר המשתנה שואף לאינסוף קל לחשב. היות ושורש המספרים הריבועיים זו סדרה ששואפת לאינסוף - גם גבול הפונקציה הרצויה הוא אינסוף. היות ולכן מעלת הפולינום במונה גדולה בלפחות 1 ממעלת הפולינום במכנה, ולכן גם אם נחלק את הפונקציה בשורש x נישאר עם פונקציה ששואפת לאינסוף- ובפרט לא תהיה לה סדרה של אחדות (שהיתה אמורה להיות בסדרה x=n² ) בסתירה להנחה ההתחלתית (שיש נוסחה). יאיר ח. 13:14, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

אינני מתמצא בכל זה אך אשמח לדעת מה שורש המספר 169

תודה רבה.

13. (אם זו בדיחה - חה חה חה). גדי אלכסנדרוביץ' 23:32, 28 בנובמבר 2006 (IST)

תן לי לבדוק את זה רגע,

${\begin{matrix}{\sqrt {1\ \ 69}}\\&&&&&x=0\ \ \ \ &20x+a\equiv {\underline {a}}\ \ \ \ \\{\underline {\ }}\ 1\quad \ &{\underline {a}}\times {\underline {a}}\leq 1\ \\\ {\underline {\ 1\ }}\quad &{\underline {1}}\times {\underline {1}}=1\ &\Rightarrow &a=1&\Rightarrow &x={\underline {1}}\ \ \ \ &20x+a\equiv 2{\underline {a}}\ \ \ \\{\underline {\ }}\ 0\ \ 69&2{\underline {a}}\times {\underline {a}}\leq 69\\\ \ \ \ \ \ {\underline {\ 69\ }}&2{\underline {3}}\times {\underline {3}}=69&\Rightarrow &a=3&\Rightarrow &x=1{\underline {3}}\ \ \ &\\\ \ \ \ \ \ 0\\\end{matrix}}$

צודק, זה 13! גדי ו. (שיחה) 09:33, 29 בנובמבר 2006 (IST)

ומה שורש המספר 196 (14) 213.8.65.165 22:11, 8 בפברואר 2018 (IST)

"להרחבה בנושא זה, ראו חבורת אוילר"

הלכתי לערך "חבורת אוילר". איפה ההרחבה בנושא המובטחת (בפרט, תיאור של אלגוריתם הוצאת השורש כש-p שקול ל-1 מודולו 4)? כנראה פספסתי אותה. גדי אלכסנדרוביץ' 18:13, 1 בנובמבר 2007 (IST)

הזזתי את ההפניה למקום אליו היא שייכת. עוזי ו. 00:34, 29 בנובמבר 2007 (IST)

לא הבנתי - ההפניה לא הוזזה אלא חזרה למקום למקום בו הייתה. גם אני הלכתי לערך "חבורת אוילר", ולא מצאתי את ההרחבה המובטחת. אבינעם 00:40, 29 בנובמבר 2007 (IST)

בדוק היטב את העריכה הזו: ההפניה עברה לפסקה אחרת. עוזי ו. 15:44, 29 בנובמבר 2007 (IST)

תודה, אם כי עדיין לא הצלחתי להבין מהי ההרחבה. אבינעם 00:00, 30 בנובמבר 2007 (IST)

איחוד

נראה לי כדאי לאחד ערך זה עם הערך שורש ריבועי הם דנים באותו נושא וזה יחסוך זמן. בברכה, Levi-va - שיחה 13:54, 13 ביוני 2017 (IDT) Levi-va - שיחה 13:54, 13 ביוני 2017 (IDT)

אני מתנגד. ערך אחד עוסק בשורש ותכונותיו, וערך אחר במורכבות האלגוריתמית של חישוב השורש. הוצאת השורש היא פרק בתולדות השורש, והיא ראויה לערך משלה. עוזי ו. - שיחה 15:00, 13 ביוני 2017 (IDT)

כמו עוזי. דניאל 21:58, 18 ביוני 2017 (IDT)

― הועבר מהדף שיחה:שורש ריבועי
אני נגד האיחוד. המידע בשני הערכים הוא שונה וייחודי. גיא - פתרון למחיקה 09:54, 23 ביוני 2017 (IDT)

אתה צודק ובגלל שבכל ערך יש מידע שונה אז לא נמחוק את אחד הערכים. אבל לדוגמא כשמישהו פותח את הערך על השורש הוא ודאי ירצה לדעת גם על הוצאת השורש, אין סיבה בעולם לשלוח אותו לפתוח בערך אחר. הערך של השורש גם ככה לא מועמס במידע. בברכה Levi-va - שיחה 17:00, 23 ביוני 2017 (IDT) Levi-va - שיחה 17:00, 23 ביוני 2017 (IDT)

"ראו גם". עוזי ו. - שיחה 18:14, 23 ביוני 2017 (IDT)

― סוף העברה

שינוי שם

הערך בויקיפדיה האנגלית נקרא "Methods of computing square roots". למה שהערך בעברית לא יהיה "שיטות לחישוב שורש ריבועי"? יוניון ג'ק - שיחה 20:46, 14 ביוני 2017 (IDT)

הערך בויקיפדיה העברית נקרא "הוצאת שורש ריבועי". למה שהערך באנגלית לא יהיה extraction of square roots? עוזי ו. - שיחה 21:06, 14 ביוני 2017 (IDT)

צודק עוזי ו. המשמעות אחידה ו"הוצאת שורש ריבועי" הרבה יותר קל ונגיש. עדיין לדעתי יש מקום לאיחוד עם הערך שורש ריבועי. בברכה, Levi-va - שיחה 21:14, 14 ביוני 2017 (IDT)

ועכשיו לענין: "שיטות לחישוב שורש ריבועי" הן שיטות שונות לפתרון אותה בעיה (של חישוב שורש ריבועי); "הוצאת שורש ריבועי" עשויה להיות בהקשרים שונים, כמו שמתואר בתמצית בערך הזה. עוזי ו. - שיחה 23:13, 14 ביוני 2017 (IDT)

יונה בנדלאק, דניאל ב., hagay1000, פשוט, עוזי ו. (בנושאים מסוימים), דביר, איתי (לא בכל מה שקשור למתמטיקה), יואל, ruleroll (גאומטריה), רמי, Tshuva, בר, yotamsvoray, CodeGuru, Zardav, דוד שי, אכן, TergeoSoftware, MathKnight, מקף, E L Yekutiel, שגיא בוכבינדר שדור YoavDvir בעלי הידע במתמטיקה BDaniel - שיחה 15:21, 18 ביוני 2017 (IDT)