שיחה:משפט נקודת השבת של בראואר

הוספת נושא

טעות בהצגת התנאים למשפטעריכה

הטענה שקומפקטיות היא תנאי הכרחי אינה מוכחת כאן. העובדה שיש קבוצה לא-קומפקטית עבורה המשפט אינו מתקיים אינה מהווה הוכחה שקומפקטיות היא תנאי הכרחי. כדי להוכיח את זה, נצטרך להראות שאם הטענה נכונה עבור קבוצה, אז הקבוצה הינה (ולא אינה - תוקן) קומפקטית.

לא במקרה, בערך באנגלית כתוב:

Importance of the pre-conditions[edit source | edit]

The theorem holds only for sets that are compact, i.e. bounded and closed, and convex. The following examples show why these three requirements are important.

כלומר, *חשוב*, לא הכרחי.

פירושה של הטענה שתנאי מסויים הוא הכרחי הוא שהיא אינה נכונה ללא התנאי. דוגמא אחת, שבה המשפט אינו תקף על קבוצה לא קומפקטית, מראה שקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט הזה. עוזי ו. - שיחה 18:01, 8 בפברואר 2016 (IST)[תגובה]
ענית מהר מדי... אני יודע מה זה תנאי הכרחי. דוגמה אחת שבה המשפט אינו תקף על קבוצה לא קומפקטית *לא* מראה שהתנאי הכרחי. כתבת "פירושה של הטענה שתנאי מסויים הוא הכרחי הוא שהיא אינה נכונה ללא התנאי", אבל הניסוח המדויק הוא "...שהיא *תמיד* אינה נכונה ללא התנאי", ואת זה דוגמה אחת לא מוכיחה. אני חוזר ואומר (טעיתי בניסוח למעלה ועכשיו תיקנתי): כדי להוכיח את זה, נצטרך להראות שאם הטענה נכונה עבור קבוצה, אז הקבוצה קומפקטית. העובדה שיש קבוצה לא קומפקטית עבורה הטענה אינה נכונה, אינה אומרת שהטענה נכונה *רק* עבור קבוצות קומפקטיות. לדוגמה, יכול להיות שהטענה נכונה עבור כל הקבוצות הקומפקטיות, ו*חלק* מהלא-קומפקטיות.
תודה על ההסבר לגבי משמעות המלה "הכרחי"; אבל הוא מתייחס לטענות מתמטיות, כמו "משפט A: תנאי מספיק והכרחי לכך שמטריצה היא הפיכה הוא שהדטרמיננטה שלה שונה מאפס". יש לאותה מלה משמעות נוספת: כשאומרים "במשפט A, הכרחי להניח שהמטריצה מוגדרת מעל שדה", המשמעות היא שללא התנאי המשפט לפעמים אינו נכון, ולא שתנאי הכרחי לכך שמטריצה מעל חוג תהיה הפיכה אם ורק אם הדרמיננטה שלה שונה מאפס, הוא שהחוג המדובר הוא שדה. עוזי ו. - שיחה 20:42, 8 בפברואר 2016 (IST)[תגובה]
1. טוב נו, אתה זה שהתחיל עם ההסבר על מהו תנאי הכרחי :)
2.אוקיי, אני מבין עכשיו מה הבעיה. יש כאן שני תנאים (קומפקטיות וקמירות), שביחד הם מספיקים, ומה שרוצים להגיד זה לא שכל אחד מהם הוא הכרחי (והמשמעות של כך גם לא ממש ברורה כשיש קוניונקציה בין שני תנאים), אלא שקבוצת התנאים היא מינימלית, במובן זה שהוצאת כל אחד מהם כבר לא מספיקה. הדוגמאות גם לא מראות שבהינתן קומפקטיות, קמירות הכרחית, ובהינתן קמירות, קומפקטיות הכרחית. הן מראות שקומפקטיות לבדה אינה מספיקה, וקמירות לבדה אינה מספיקה. כך או כך, אין כאן שום "הכרחיות" במובן המקובל של המילה. הדרך הכי מדויקת לתאר את מה שהדוגמאות מראות הוא "כל אחד מהתנאים לבדו אינו מספיק". לכן, לא הייתי כותב "כל התנאים במשפט הם הכרחיים", אלא "כל אחד מהתנאים לבדו אינו מספיק".
אפשר לנסח גם כך. בכל מקרה, נראה שהתנאים אכן הכרחיים: קבוצה קמורה וחסומה היא סגורה אם ורק אם לכל פונקציה רציפה מהקבוצה אל עצמה יש נקודת שבת. עוזי ו. - שיחה 20:14, 9 בפברואר 2016 (IST)[תגובה]

שאלהעריכה

בהוכחת המקרה הכללי כתוב:

תהי   כאשר ( ) כלומר  , או במילים אחרות מתקיים ש- 

מדוע סכום המשקלות הוא 1? מהיכן נובע האי-שיוויון? בתודה, אבינעם - שיחה 11:31, 19 באפריל 2010 (IDT)[תגובה]

ראה קואורדינטות בריצנטריות להסבר כללי. בסימפלקס שקודקודיו  , אפשר להציג כל נקודה (פנימית או על השפה) כצירוף ליניארי של הקודקודים, עם משקלים חיוביים שסכומם תמיד 1 (זו הכללה של המקרה המוכר מקטע, בו n=1). הפונקציה f נכתבת בקואורדינטות האלה, ואז המקדמים   הם פונקציות (רציפות) של כל המקדמים המקוריים. בהוכחה מדובר על נקודה הנמצאת על שפה מסויימת של הסימפלקס, ואז ידוע שמקדמים מסויימים מתאפסים, וסכום שאר המקדמים הוא 1. אבל בהצגה המתאימה של f על אותה שפה, סכום כל המקדמים הוא 1, ולכן סכום המקדמים המתאימים לאותה שפה קטן או שווה ל-1. עוזי ו. - שיחה 13:01, 19 באפריל 2010 (IDT)[תגובה]
תודה על ההסבר. אבינעם - שיחה 14:09, 19 באפריל 2010 (IDT)[תגובה]

הסעיף הדגמות איננו נכון! לעניות דעתי ויש למחקו עד שיימצא לו נוסח נכוןעריכה

המסקנה לגבי נוזל שנבחש בכלי, כי נקודה מסוימת שלו תמיד נשארת באותו מקום בו היא הייתה לפי בחישתו, פשוט איננה נכונה !


למשל, כאשר כל נקודה של משקה הגיעה למקום גבוה בס"מ יותר מהמקום הקודם, פרט לנקודות שהיו בס"מ העליון, שהן הגיעו כולן אל הס"מ התחתון.

בדוגמה זו של משקה המעורבב בכוס ויתרנו על תנאי שהצבנו בדוגמה הדו-ממדית שמותר רק לקמט את הנייר, אך לא קורעים אותו !

כאן "קרענו ופזרנו" את המשקה, לא "כווצנו וקמטנו" אותו. (תנאי זה מעוגן בהגדרה שהפונקציה צריכה להיות רציפה ?).

ושגיאה נוספת:עריכה

נוכל לשאול גם לגבי הנייר המקומט: נתאר לעצמנו את הדוגמה הפשוטה שהנייר העליון מונח על גבי התחתון ללא שום כיווץ או קיפול שלו, רק כשהוא פרוש לכל שטחו, אבל נתון עליו כשהוא מסובב ב-180 מעלות.

הנקודה היחידה שלא שינתה את מקומה היא נקודת המרכז. כל נקודה אחרת שינתה את מקומה ביחס לשני הקואורדינטות, כאשר אם נקודת המרכז היא מרכז הצירים הרי כל נקודה אחרת הפכה את הסימון שלה (פלוס למינוס, ולהיפך בהתאם), הן בציר ה-X והן בציר ה-Y.

כל זה נכון רק כאשר אנחנו מדברים על המשפט בייחס לנקודה במובן הגאומטרי שלה.

לא כן אם נדון ביחס לנקודה כלשהי של חומר, כאשר ל"נקודה" כזאת יש שטח מינימילי הגדול מ-0. שאז אין שום "נקודה" כזאת שנשארה במקום הקודם. כל "נקודה של חומר" שינתה את מקומה. נקודת המרכז, איננה תופסת שטח כלל.

לכן כאשר אנחנו מדברים על חומר, המשפט איננו נכון. הוא נכון רק לגבי "נקודה גאומטרית" שאין לה שום שטח. כך שלא נכון לדבר לגבי הנייר עצמו, אלא לגבי נקודות על הנייר.

ובאותה מידה גם לגבי המשקה שבכוס, הרי שהדוגמה איננה נכונה כלל, כי היא מתייחסת למשקה, זאת אומרת לחומר. שלגביו המשפט איננו נכון. רצוני - שיחה 04:53, 29 בינואר 2012 (IST)[תגובה]

שום בחישה של הכוס לא יכולה לגרום לנקודות לנוע באופן שתיארת. לכן המשפט עדין נכון. לגבי הנייר, ברור שמדובר רק בנקודה גאומטרית, לא טענו אחרת. הרי דף אינו רציף בכלל, הוא מורכב מאטומים שבינהם ריק. דניאל תרמו ערך 16:52, 13 בפברואר 2012 (IST)[תגובה]
באשר לטענתי השניה: אמנם לגבי הנייר, לא נטען אחרת, אם כי עדיין לא מודגש מספיק שהכוונה היא לנקודה תאורטית, לא לחומר (כשעוברים לדבר על "דוגמאות בעולם האמיתי", אנחנו בדרך כלל עוברים גם אל קהל יעד עממי יותר שזקוק להבהרה כזאת). לעניות דעתי יש גם הבדל בין "נקודה מסוימת על הנייר" ("נקודה תיאורטית" לפי המינוח הלא-כל-כך-נכון שלי) לבין נקודה מסוימת בנייר" (צירוף מילים שנותן תחושה של חלקיק חומרי).
חמור יותר לגבי המשקה, אודותיו מדובר בפירוש על "נקודה מסוימת של הנוזל", כאן ישנו משקל כבד יותר לחשש של טעות בהבנה.
ובאשר לטענתי הראשונה: תיארתי מקרה מסוים. לא הבנתי למה הוא לא יתכן תיאורטית. רצוני - שיחה 21:04, 13 בפברואר 2012 (IST)[תגובה]

משוב מ-19 בדצמבר 2012עריכה

משהו לא מנוסח טוב בשורה האחרונה בפיסקה הפותחת. המשפט לא מוכיח כלום לאור העובדה שמשפטים לא באים להוכיח אלא הוכחות. 94.188.255.242 19:05, 19 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]

זו אינה שגיאה. העובדה שיש משפט כזה מוכיחה שיש נקודת שבת. עוזי ו. - שיחה 00:31, 20 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]
לדעתי הפירוש שלך רחוק. כשכתוב "המשפט מוכיח" נראה לי מאוד מפולפל לפרש זאת כ"עובדת קיום המשפט מוכיחה" ולפי זה לא מדובר בהוכחה במובן המתמטי אלא במובן האמפירי - אנו רואים כי הרבה מתמטיקאים השתכנעו בנכונותו של המשפט ולכן מאמינים לתוכן שלו - ולפי זה לא ברור מה הקשר בין תחילת המשפט לסופו. 94.188.255.242 15:37, 28 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]
הוכחה היא רשימה של משפטים וטענות הנובעות מהם על ידי כללי היסק. לכן משפט מוכיח מסקנה. דניאל תרמו ערך 15:45, 28 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]
אז אם אני מבין אותך, אתה אומר שהכוונה היא שהמשפט משמש בהוכחת טענות אחרות. אם כך, מה הקשר לסוף המשפט? לא נראה לי שיש לאינטואיציסט בעיה להשתמש במשפט "לכל שני מספרים רציונליים המקיימים x<y קיים מס' רציונלי z המקיים x<z<y" על אף שהמשפט לא מראה כיצד למצוא את z הנ"ל, מכיוון שהוכחת המשפט אכן מראה כיצד למצוא z כנ"ל (למשל ע"י לקיחת 2/(x+y)) לכן לא נראה לי שהבעיה היא בתוכן של המשפט אלא בדרך ההוכחה שלו ואם זו הבעיה אז צריך לנסח מחדש את המשפט. 94.188.255.242 15:58, 28 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]
ניסחתי מחדש. דניאל תרמו ערך 16:42, 28 בדצמבר 2012 (IST)[תגובה]

באשר להוכחת המשפטעריכה

אולי כדאי גם להביא כאן, בנוסף, את ההוכחה למשפט זה על פי משפט סטוקס (כפי שמלמדים אותה בקורסים באינפי)? לטעמי זו הוכחה אלמנטרית יותר מזו שמובאת כאן, ואז גם אנשים חסרי רקע טופולוגי יוכלו לקרוא את ההוכחה. אשמח לשמוע דעתכם.

קישור שבורעריכה

במהלך מספר ריצות אוטומטיות של הבוט, נמצא שהקישור החיצוני הבא אינו זמין. אנא בדקו אם הקישור אכן שבור, ותקנו אותו או הסירו אותו במקרה זה!

--Matanyabot - שיחה 17:51, 4 במאי 2013 (IDT)[תגובה]

בינוויקי שגויעריכה

צריך להיות Brouwer fixed-point theorem.‏ 79.178.226.101 22:27, 8 בדצמבר 2015 (IST)[תגובה]

זהו הבינוויקי. איזה שגיאה אתה רואה? דוד שי - שיחה 23:17, 8 בדצמבר 2015 (IST)[תגובה]
חזרה לדף "משפט נקודת השבת של בראואר".