תכונת החיתוך הסופי

אוסף קבוצות מקיים את תכונת החיתוך הסופי אם לכל תת-אוסף סופי שלו חיתוך לא ריק.

התכונה מתקיימת באופן טריוויאלי כאשר חיתוך כל הקבוצות באוסף אינו ריק, אבל מצב זה אינו הכרחי. למשל, אוסף הקטעים מקיים את תכונת החיתוך הסופי, בעוד שחיתוך כל הקטעים הוא ריק.

הגדרת קומפקטיות על ידי תכונת החיתוך הסופיעריכה

תכונת החיתוך הסופי משמשת להגדרה חלופית לקומפקטיות: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל אוסף של קבוצות סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי, חיתוך לא ריק.

הוכחת שקילות ההגדרותעריכה

יהי   מרחב טופולוגי. נניח ש-  קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי: יהי   אוסף תת-קבוצות סגורות של   המקיים את תכונת החיתוך הסופי, ונניח על דרך השלילה שהחיתוך   ריק. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים   מהווה כיסוי פתוח של  . מההנחה ש-  קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה נובע שיש לאוסף המשלימים תת-כיסוי סופי  . לפיכך לתת אוסף הסופי   חיתוך ריק, בסתירה לתכונת החיתוך הסופי. נובע מכאן שהחיתוך   אינו ריק, כלומר   קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי.

בכיוון ההפוך: נניח ש-  קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה: יהי   כיסוי פתוח של  , ונניח על דרך השלילה שאין לו שום תת-כיסוי סופי. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים   הוא אוסף תת-קבוצות סגורות של   המקיים את תכונת החיתוך הסופי. מההנחה ש-  קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי נובע שהחיתוך   אינו ריק, כלומר   אינו כיסוי, וזאת סתירה. נובע מכאן של-  יש תת-כיסוי סופי, כלומר   קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה.

מש"ל