תנאי הלדר

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרהעריכה

פונקציה   עבור תחום פתוח   מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים  , אם לכל   מתקיים  .

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים  , פונקציה   מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים  , אם לכל   מתקיים  .

תכונותעריכה

  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע  , אז היא רציפה באותו תחום.
  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע  , משמע היא חסומה.
  • מהקמירות של הפונקציה  , עבור כל  , נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור   היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר   מרחב מטרי כלשהו.
  • תנאי הלדר עם קבוע   נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונליתעריכה

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים   מעל קבוצה פתוחה   במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן  . אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן:  , וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב-   ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):