איזוקליניות

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה $G$ למבנה המשותף של המנה $G/\!\operatorname {Z} (G)$ ותת-חבורת הקומוטטורים $G'=[G,G]$. היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

הגדרה

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור $G/\!\operatorname {Z} (G)\times G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow [G,G]$ מוגדרת היטב.

חבורות $G,H$ הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים $\alpha :G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow H/\!\operatorname {Z} (H)$ ו-$\beta :[G,G]\rightarrow [H,H]$, המקיימים $\beta ([{\bar {x}},{\bar {y}}])=[\alpha ({\bar {x}}),\alpha ({\bar {y}})]$ (כאשר ${\bar {x}},{\bar {y}}$ הם הנציגים של $x,y$ בחבורות המנה).

חבורה $G$ היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם $G/\!\operatorname {Z} (G)$ סופית.

אינווריאנטים

נסמן ב-$\gamma _{i}(G),\zeta _{i}(G)$ את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה $G$, בהתאמה. המנות $\gamma _{i}(G)\!\operatorname {Z} (G)/\!\operatorname {Z} (G)$ והחיתוכים $G'\cap \zeta _{i}(G)$ אינם תלויים ב-$G$, אלא עד כדי איזוקליניות.

איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה

חבורה $G$ היא איזוקלינית לתת-החבורה $H$ אם $G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)$ (אם $G/\!\operatorname {Z} (G)$ סופית, גם ההפך נכון). כאשר $G$ סופית, $G$ איזוקלינית לתת-החבורה $H$ אם ורק אם $G/\!\operatorname {Z} (G)\cong H/\!\operatorname {Z} (H)$.

חבורה $G$ היא איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$ אם $N\cap G'=1$ (אם $G'$ סופית, גם ההפך נכון). כאשר $G$ סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$ אם ורק אם $\!\operatorname {Z} (G)\cong \!\operatorname {Z} (G/N)$.

לכל שתי חבורות איזוקליניות $G,H$ יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה $M$, איזוקלינית ל-$G,H$, כך ש-$G,H$ מנות של $M$; ויש חבורה $N$, איזוקלינית ל-$G,H$, כך ש-$G,H$ תת-חבורות של $N$. אם $G,H$ סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

נציגים מינימליים

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה $T$ המקיימת $T'\subseteq \!\operatorname {Z} (T)$ (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם $G$ נוצרת סופית ו-$G'$ סופית, אז $G$ איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל-$G$ היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע.

נאמר שחבורה $G$ היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה $H$ כך ש-$G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)$ (אחרת, כפי שצוין לעיל, $G$ איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת $\operatorname {Z} (G)\subseteq \Phi (G)$, כאשר $\Phi (G)$ היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם $\ \operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')$ נוצרת סופית.

נאמר שחבורה $G$ היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית $N$ כך ש-$N\cap G'=1$ (אחרת, כפי שצוין לעיל, $G$ איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$). חבורה $G$ היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-$G'$, ו-$\operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')$ חבורה מפותלת.

לקריאה נוספת

• On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.