אינדקס שזירה

במתמטיקה, אינדקס השזירה (באנגלית: Linking number) הוא אינווריאנט מספרי שמתאר את השזירה של שני עקומים סגורים במרחב תלת-ממדי.

לשני העקומים בשזר הטורוס (2,8) יש אינדקס שזירה ארבע

אינטואיטיבית, אינדקס השזירה מודד את כמות הפעמים שהעקום הראשון מתלפף מסביב לעקום השני, ולהפך. בכך הוא מהווה למעשה הכללה של מושג אינדקס הליפוף מ"עקומה ביחס לנקודה" ל"עקומה ביחס לעקומה". אינדקס השזירה הוא תמיד מספר טבעי, אך הוא עשוי להיות חיובי או שלילי בתלות באוריינטציה של שני העקומים.

אינדקס השזירה הוצג בידי גאוס בצורה של אינטגרל שזירה. זהו אובייקט מתמטי שנחקר רבות בתורת הקשרים, טופולוגיה אלגברית, וגאומטריה דיפרנציאלית, ולו יישומים רבים במתמטיקה ומדע, בתחומים של מכניקת הקוונטים, אלקטרומגנטיות, וחקר מבנה ה-DNA.

חישוב אינדקס השזירה

עם ששה צמתים חיוביים ושניים שליליים, לשני העקומים הללו יש אינדקס שזירה 2.

ישנו אלגוריתם לחישוב אינדקס השזירה של שני עקומים מן הדיאגרמה המישורית של השזר. נתייג כל נקודת צומת בדיאגרמה כחיובית או שלילית, בהתאם לכלל הבא:

המספר הכולל של צמתים חיוביים פחות או המספר הכולל של צמתים שליליים שווה לפעמיים אינדקס השזירה. כלומר:

${\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}$

כאשר n₁, n₂, n₃, n₄ מייצגים את מספר הצמתים מכל סוג. שני הסכומים $n_{1}+n_{3}\,\!$ ו-$n_{2}+n_{4}\,\!$ הם תמיד שווים, מה שמוביל לנוסחה השקול הבאה:

${\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.$

תכונות ודוגמאות

• לכל שני עקומים בלתי שזורים יש אינדקס שזירה אפס. אף על פי כן, ההפך אינו בהכרח נכון - שני עקומים בעלי אינדקס שזירה אפס עשויים עדיין להיות שזורים זה בזה (כמו במקרה של שזר וייטהד).
• היפוך האוריינטציה של כל אחד מהעקומים גורם להיפוך הסימן של אינדקס השזירה, בעוד היפוך האוריינטציה של שני העקומים מותיר אותו בלא שינוי.
• אינדקס השזירה הוא כיראלי: שיקוף בראי של שזר כלשהו בהכרח הופך את סימן האינדקס. הקונבנציה של סימן חיובי של אינדקס השזירה מבוססת על כלל יד ימין.
• אינדקס הליפוף של עקום בעל אוריינטציה קבועה במישור x-y שווה לאינדקס השזירה שלו ביחס לציר ה-z (ציר ה-z עובר דרך נקודת הייחוס שבמישור ה-x-y).
• בפיזיקה, אינדקס השזירה הוא דוגמה למה שמכונה מספר קוונטי טופולוגי. לתאוריה של מספרים אלו יש קשר לשזירה קוונטית.

הגדרת האינטגרל של גאוס

פרק זה טעון שכתוב. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לשכתב אותו.

בהינתן שני עקומים גזירים ובלתי-נחתכים $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, נגדיר את העתקת גאוס $\Gamma$ מהטורוס לספירת היחידה על ידי:

$\Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}$

ההגדרה האנליטית של גאוס מאפשרת לרשום נוסחה מפורשת לאינדקס השזירה של γ₁ ו-γ₂, אינטגרל קווי כפול שידוע כאינטגרל השזירה של גאוס:

${\begin{aligned}\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\mathrm {det} ({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}$

האינטגרל הזה מחשב את השטח המכוון הכולל של התמונה של העתקת גאוס (האינטגרנד הוא היעקוביאן של Γ) ולאחר מכן מחלק בשטח הספירה (שהוא $4\pi$).

אף על פי שהאינטגרל הכפול עושה שימוש ישיר במנח של שתי המסילות במרחב (כך שניתן לצפות לשינוי בערכו אם מזיזים מעט את הלולאות), תוצאתו לא תלויה כלל במנח הלולאות, אלא רק בדרגת השזירה שלהן. זוהי דוגמה חשובה למה שמכונה עקרון-הומוטופיה (h-principle), שגורס כי קיימים מקרים בהם גאומטריה מצומצמת לטופולוגיה.

הכללות

השמורות של מילנור מכלילות את אינדקס השזירה לשלושה או יותר מרכיבים, ומאפשרות להוכיח שהטבעות הבורומאיות שזורות, אף על פי שלכל שני מרכיבים שלהן יש אינדקס שזירה 0.

• בדיוק כשם שעקומים סגורים יכולים להיות שזורים במרחב תלת-ממדי, כל שתי יריעות סגורות מממדים m ו-n עשויות להיות שזורות במרחב אוקלידי מממד $m+n+1$. לכל שזר כזה מקושרת העתקת גאוס, אשר ערך הדרגה שלה הוא הכללה של אינדקס השזירה.
• אינדקס השזירה מוגדר בעבור שני מעגלים שזורים; אם שלושה או יותר מעגלים נתונים, הכללה של אינדקס השזירה היא השמורות של מילנור, שהן אינווריאנט מספרי המכליל את אינדקס השזירה.

היסטוריה

להגדרה האנליטית של גאוס לאינדקס השזירה יש שורשים היסטוריים הן בעיסוקיו כאסטרונום והן בעיסוקיו כמתמטיקאי ופיזיקאי. ב-1804 הוא פרסם חיבור קצר שכותרתו "על קביעת גבולות המיקומים הגאוצנטריים של הפלנטות", בו עסק בבעיה שפתרונה הוא בעל ערך מיידי לעבודתו של האסטרונום: קביעת התחום השמיימי בו כוכבי לכת, אסטרואידים ושביטים עשויים להופיע, תחום אותו הוא מכנה zodiacus. כדי למצוא את גבולות התחום הזה, הוא גזר משוואה דיפרנציאלית שמקיימת השפה של ה-zodiacus; המשוואה שהתקבלה הייתה תבנית דיפרנציאלית הזהה למונה שבאינטגרנד של אינטגרל השזירה. בחיבורו, ציין גאוס 3 מקרים אפשריים למצב ההדדי של מסלול כדור הארץ ומסלול העצם הנצפה: כאשר המרחק המינימלי של העצם מן השמש גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, וכאשר שני המסלולים שזורים זה בזה. הוא הראה שבשני המקרים הראשונים, פתרונות המשוואה מייצגים שני עקומים סגורים על הספירה, בעוד שבמקרה השלישי מתקבל עקום סגור יחיד. עם זאת, כפי שגאוס הדגיש, אף לא אחד מהאזורים התחומים על ידי העקום במקרה השלישי יהיה ה-zodiacus - במקרה זה, כך כתב, "מסיבות טופולוגיות ה-zodiacus יהיה הספירה השמיימית כולה". החיבור מסיים בדיון מעמיק בחישוב ה-zodiacus של האסטרואידים החדשים שנתגלו, קרס ופאלאס.

כשלושים שנה מאוחר יותר, גאוס נתקל שוב בתבנית הדיפרנציאלית הזאת בהקשר אחר - במסגרת מחקריו באלקטרומגנטיות. אינטגרל השזירה צץ בעת שמנסים לחשב את הסירקולציה של השדה המגנטי הנוצר על ידי לולאת זרם, לאורך לולאה אחרת. התבנית הדיפרנציאלית נובעת במקרה זה מיישום חוק ביו-סבר לחישוב השדה המגנטי.

קישורים חיצוניים

• אינדקס שזירה, באתר MathWorld (באנגלית)